Ich benötige bei dieser Aufgabe einmal eure Hilfe:
Folgende Summenformeln sollen mittels vollständiger Induktion bewiesen werden:
+3976 Ich mach's mal für die a) vor und geb' dir dann für den Rest ein bisschen Zeit zum selbst-probieren.
Zuerst der Induktionsanfang: n=1 - dann steht auf der linken Seite nur die Summe bestehend aus einem Summanden, 13=1. Rechts steht dann \((\frac{1 \cdot (1+1)}{2})^2 = 1\), die Gleichheit stimmt also.
Wir nehmen nun an (IV), dass die Gleichung für eine Zahl n stimmt. Dann betrachten wir die Gleichung für n+1:
\(\sum_{i=1}^{n+1} i^3 = \\ \sum_{i=1}^{n} i^3 + (n+1)^3 =^* \\ (\frac{n \cdot (n+1)}{2}) ^2 + (n+1)^3 = \\ \frac{(n^2+n)^2}{4} + \frac{4\cdot (n+1)^3) }{4} = \\ \frac{n^4+2n^3+n^2+4n^3+12n^2+12n+4}{4} = \\ \frac{n^4 +6n^3+13n^2+12n+4}{4}\)
Zu prüfen ist ja, ob das jetzt gleich \((\frac{(n+1)\cdot(n+1+1)}{2})^2\) ist. Man könnte natürlich in unserem ausmultiplizierten Term versuchen, auszuklammern - hier ist es aber leichter, in unserem Ziel-Term die Klammern aufzulösen. Dann findet man
\((\frac{(n+1)\cdot(n+1+1)}{2})^2 = \frac{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4}\)
Die beiden Seiten sind also gleich. Damit sind wir fertig.
Ich versuche es mal für b)
Zuerst der Induktionsanfang: \(n=1\) dann steht auf der linken Seite nur die Summe bestehend aus einem Summanden, \(1^2=1\).
Rechts steht dann \(\frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}=\frac{6}{6}=1\) , die Gleichheit stimmt also.
Wir nehmen nun an (Voraussetzung), dass die Gleichung für eine Zahl \(n\) stimmt, und betrachten die Gleichung für \(n+1\):
\(\sum_{j=1}^{n+1} j^2 =\)
\(\sum_{j=1}^{n} j^2 +(n+1)^2 = \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}+(n+1)^2\)
ist das soweit korrekt?
+3976 Ja, genau, soweit ist alles optimal.
Und jetzt musst du "nur" zeigen, dass das Ergebnis gleich \(\frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6}\) ist. Das kannst du entweder machen, indem du zusammenfasst und dann ausklammerst, oder du löst bei beiden Ausdrücken alle Klammern auf, fasst zusammen und stellst dann fest, dass das gleiche herauskommt.
also anknüpfend:
\(=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}+(n+1)^2\)
\(=\frac{n\cdot(2n^2+3n+1)}{6}+(n+1)^2\)
\(=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}+(n+1)^2\)
\(=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}+n^2+2n+1\)
...hier komme ich nicht weiter
kann ich das auch noch an der Stelle machen, an der ich mich gerade befinde oder hätte ich das schon 1-2 Schritte vorher machen müssen?
also weiter
\(=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}+\frac{6\cdot(n^2+2n+1)}{6}\)
\(=\frac{2n^3+3n^2+n+6n^2+12n+6}{6}\)
\(=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}\)
\(=\frac{n^3+4,5n^2+6,5n+3}{3}\)
Nun ist zu prüfen, ob das Ergebnis gleich \(\frac{(n+1)\cdot(n+1+1)\cdot(2\cdot(n+1)+1)}{6}\) ist:
\(=\frac{(n+1)\cdot(n+2)\cdot(2n+3)}{6}\)
\(=\frac{(n+1)\cdot(2n^2+7n+6)}{6}\)
\(=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}\)
\(=\frac{n^3+4,5n^2+6,5n+3}{3}\) q.e.d.
Damit ist bewiesen, dass \(\frac{(n+1)\cdot(n+1+1)\cdot(2\cdot(n+1)+1)}{6}=\frac{n^3+4,5^2+6,5n+3}{3}\) ist.
+3976 Ja mehr sogar - das heisst ja jetzt, dass dein Induktions-schritt funktioniert hat.
Insgesamt hast du ja jetzt raus: Gilt die Aussage für n, dann ist auch
\(\sum_{i=1}^{n+1}i^2 = \frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6}\)
Du hast also gezeigt: Wenn die Aussage für eine Zahl n gilt, dann gilt sie auch für die Folge-Zahl. (Diese Annahme nutzt du ganz am Anfang, wo du den letzten Summanden der Summe bis n+1 abspaltest und für die Summe bis n die vorgegebene Formel nutzt.)
Weil sie für 1 gilt (Induktionsanfang), gilt sie jetzt also auch für 2, und daher für 3 etc. - also für alle Zahlen, und die Aussage ist bewiesen.
Ah, okay.
Aufgabe c) gestaltet sich jetzt aber wieder komplizierter, da \(k=0\) und \(x^k\)
Da stehe ich leider wieder vor einem Rätsel...
+3976 Dann mach ich's dir für c) nochmal vor - hast ja brav mitgearbeitet ;)
Der Induktionsanfang ist noch drin denke ich: Für n=0 ist
\(\sum_{k=0}^n x^k = \sum_{k=0}^0 x^k = x^0 = 1 \\ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = \frac{1-x^{0+1}}{1-x} = \frac{1-x}{1-x} = 1\)
Also sind beide Seiten gleich - passt!
Für n=1 kann man's auch noch machen (muss nicht, aber: wenn man bei 'nem Induktionsbeweis nicht so recht sieht, wie's funktioniert, macht's immer Sinn, sich mal die Aussage für die ersten Paar Zahlen anzuschauen - irgendwann fällt einem dann schon was auf):
\(\sum_{k=0}^n x^k = \sum_{k=0}^1 x^k = x^0 +x^1 = 1+x \\ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = \frac{1-x^{1+1}}{1-x} = \frac{1-x^2}{1-x} = \frac{(1-x)(1+x)}{1-x} = 1+x\)
Wir sehen: Auch hier sind beide Seiten gleich, alles wie's sein sollte.
Jetzt machen wir uns an den Induktionsschritt und nehmen dafür an, dass die Aussage für eine Zahl n gilt. Wir betrachten die Gleichung wieder für n+1:
\(\sum_{k=0}^{n+1} x^k = \sum_{k=0}^n x^k +x^{n+1} =^* \\ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + x^{n+1} = \\ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + \frac{(1-x)x^{n+1}}{1-x} = \\ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + \frac{x^{n+1} - x^{n+2}}{1-x} = \\ \frac{1-x^{n+1}+x^{n+1} - x^{n+2}}{1-x} = \\ \frac{1-x^{n+2}}{1-x} = \\ \frac{1-x^{n+1+1}}{1-x} \)
Hier ist es direkt gelungen, die linke Seite mit n+1 statt n in die rechte Seite mit n+1 statt n umzuformen - damit ist der Induktionsschritt abgeschlossen und die Aussage gezeigt.
Frag' gern nochmal nach, wenn du irgendeinen Schritt nicht verstanden hast. Das Prinzip der Induktion ist wichtig und sollte sorfgältig verstanden werden. Man sieht auch: Unser erster Schritt war eigentlich immer, den Ausgangs-Term so umzuformen, dass wir die Induktionsgleichung nutzen können. Das ist hier immer das Ziel.
Und zu guter Letzt: Aussage c) könnte man leichter zeigen, indem man einfach beide Seiten mit 1-x multipliziert: Dann steht rechts nur noch 1-xn+1 und links 1-x+x-x2+x2-...-xn+xn-xn+1 = 1-xn+1 - passt!
