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n

∏ k/2^(k-1)=4-(n+2/2^(n-1)
k=1

 

Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.

 27.01.2021
 #1
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Auf geht's, Induktionsanfang mit n=1:

Linke Seite: \(\frac{1}{2^{1-1}}=1\)

Rechte Seite: \(4-\frac{1+2}{2^{1-1}} = 4-3=1\)

Sind gleich, Aussage stimmt für n=1.

 

Sei nun die Aussage wahr für eine Zahl n (Induktionsannahme IA).

Wir zeigen, dass sie dann auch für n+1 gilt:

 

\(\Pi_{k=1}^{n+1} \frac{k}{2^{k-1}} = \\ (\Pi_{k=1}^n \frac{k}{2^{k-1}} ) \cdot \frac{n+1}{2^{n+1-1}} =^{IA} \\ (4-\frac{n+2}{2^{n-1}}) \cdot \frac{n+1}{2^{n}} = \\ \frac{n+1}{2^{n-2}}-\frac{(n+2)(n+1)}{2^{n-1}2^n} = \\ \frac{2^{n+1}(n+1)}{2^{2n-1}}- \frac{(n+2)(n+1)}{2^{2n-1}} = \\ \)

 

An der Stelle war ich nicht mehr so sicher, ob hier alles mit rechten Dingen zugeht.

Mit n=2 sieht man:

Linke Seite: \(\frac{1}{2^{1-1}} \cdot \frac{2}{2^{2-1}} = 1 \cdot 1 = 1\)

Rechte Seite: \(4 - \frac{2+2}{2^{2-1}} = 4-2 = 2\)

 

-> Nicht gleich, die Aussage stimmt einfach nicht. Dementsprechend gibt's hier auch nichts zu beweisen.

 28.01.2021

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