n
∏ k/2^(k-1)=4-(n+2/2^(n-1)
k=1
Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.
Auf geht's, Induktionsanfang mit n=1:
Linke Seite: 121−1=1
Rechte Seite: 4−1+221−1=4−3=1
Sind gleich, Aussage stimmt für n=1.
Sei nun die Aussage wahr für eine Zahl n (Induktionsannahme IA).
Wir zeigen, dass sie dann auch für n+1 gilt:
Πn+1k=1k2k−1=(Πnk=1k2k−1)⋅n+12n+1−1=IA(4−n+22n−1)⋅n+12n=n+12n−2−(n+2)(n+1)2n−12n=2n+1(n+1)22n−1−(n+2)(n+1)22n−1=
An der Stelle war ich nicht mehr so sicher, ob hier alles mit rechten Dingen zugeht.
Mit n=2 sieht man:
Linke Seite: 121−1⋅222−1=1⋅1=1
Rechte Seite: 4−2+222−1=4−2=2
-> Nicht gleich, die Aussage stimmt einfach nicht. Dementsprechend gibt's hier auch nichts zu beweisen.