+19 Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n
∏ (1+2/k)=(n+1)(n+2)/2
k=1
Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.
+3976 Der Induktionsanfang ist wie so oft der einfache Part:
Für n=1 steht links 1+2/1=3, rechts ist (1+1)(1+2)/2=3, die Gleichheit stimmt also.
Wir nehmen wieder an, dass die Aussage für eine Zahl n stimmt, und folgern daraus, dass sie auch für n+1 stimmt.
\(\Pi_{k=1}^{n+1} (1+\frac{2}{k}) = \\ (\Pi_{k=1}^n (1+\frac{2}{k}) )\cdot (1+\frac{2}{n+1})=^{IA} \\ \frac{(n+1)(n+2)}{2}\cdot (1+\frac{2}{n+1}) = \\ \frac{(n+1)(n+2)}{2} + \frac{(n+1)(n+2)}{2} \cdot \frac{2}{n+1} = \\ \frac{(n+1)(n+2)}{2} + n+2 = \\ \frac{(n+1)(n+2)}{2} + \frac{2(n+2)}{2} = \\ \frac{(n+1)(n+2)+2(n+2) }{2} = \\ \frac{(n+3)(n+2)}{2} = \\ \frac{((n+1)+1)((n+1)+2)}{2}\)
Die Aussage stimmt also auch für n+1, damit ist der Beweis vollständig. Bei IA habe ich wieder die Induktionsannahme benutzt, also die Gültigkeit der Aussage für n.
