+19 Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n
∑ 1/(2k-1)(2k+1)=n/2n+1
k=1
Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.
+3976 Der Induktionsanfang ist noch einfach - für n=1 steht da nur 1/3 = 1/3, was wahr ist.
Wir nehmen nun an, dass die Aussage für eine Zahl n stimmt (IA), und folgern daraus, dass sie auch für n+1 stimmt:
\(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \\ \sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} +\frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}=^{IA} \\ \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3) } = \\ \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3) } = \\ \frac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3) } = \\ \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3) } = \\ \frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3) } = \\ \frac{n+1}{2(n+1)+1}\)
Die Aussage stimmt also auch für n+1. Damit ist die Aussage bewiesen.
