Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n
∑ 1/(2k-1)(2k+1)=n/2n+1
k=1
Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.
Der Induktionsanfang ist noch einfach - für n=1 steht da nur 1/3 = 1/3, was wahr ist.
Wir nehmen nun an, dass die Aussage für eine Zahl n stimmt (IA), und folgern daraus, dass sie auch für n+1 stimmt:
∑n+1k=11(2k−1)(2k+1)=∑nk=11(2k−1)(2k+1)+1(2(n+1)−1)(2(n+1)+1)=IAn2n+1+1(2n+1)(2n+3)=n(2n+3)(2n+1)(2n+3)+1(2n+1)(2n+3)=n(2n+3)+1(2n+1)(2n+3)=2n2+3n+1(2n+1)(2n+3)=(2n+1)(n+1)(2n+1)(2n+3)=n+12(n+1)+1
Die Aussage stimmt also auch für n+1. Damit ist die Aussage bewiesen.