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Für alle natürlichen Zahlen n gilt:

 

n
∑ 1/(2k-1)(2k+1)=n/2n+1
k=1

 

Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.

 26.01.2021
bearbeitet von Mathejunkie  26.01.2021
 #1
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Der Induktionsanfang ist noch einfach - für n=1 steht da nur 1/3 = 1/3, was wahr ist.

Wir nehmen nun an, dass die Aussage für eine Zahl n stimmt (IA), und folgern daraus, dass sie auch für n+1 stimmt:

\(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \\ \sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} +\frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}=^{IA} \\ \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3) } = \\ \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3) } = \\ \frac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3) } = \\ \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3) } = \\ \frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3) } = \\ \frac{n+1}{2(n+1)+1}\)

 

Die Aussage stimmt also auch für n+1. Damit ist die Aussage bewiesen.

 26.01.2021
 #2
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Danke für die Antwort, was bedeutet IA?

Mathejunkie  26.01.2021
 #3
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InduktionsAnahme

Probolobo  26.01.2021
 #4
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achso klar, danke

Mathejunkie  26.01.2021

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