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Für alle natürlichen Zahlen n gilt:

 

n
∑ 1/(2k-1)(2k+1)=n/2n+1
k=1

 

Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.

 26.01.2021
bearbeitet von Mathejunkie  26.01.2021
 #1
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Der Induktionsanfang ist noch einfach - für n=1 steht da nur 1/3 = 1/3, was wahr ist.

Wir nehmen nun an, dass die Aussage für eine Zahl n stimmt (IA), und folgern daraus, dass sie auch für n+1 stimmt:

n+1k=11(2k1)(2k+1)=nk=11(2k1)(2k+1)+1(2(n+1)1)(2(n+1)+1)=IAn2n+1+1(2n+1)(2n+3)=n(2n+3)(2n+1)(2n+3)+1(2n+1)(2n+3)=n(2n+3)+1(2n+1)(2n+3)=2n2+3n+1(2n+1)(2n+3)=(2n+1)(n+1)(2n+1)(2n+3)=n+12(n+1)+1

 

Die Aussage stimmt also auch für n+1. Damit ist die Aussage bewiesen.

 26.01.2021
 #2
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Danke für die Antwort, was bedeutet IA?

Mathejunkie  26.01.2021
 #3
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InduktionsAnahme

Probolobo  26.01.2021
 #4
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achso klar, danke

Mathejunkie  26.01.2021

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