Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage 3 | (n^3 + 2n) fur alle n ∈ N gilt.
+14913 Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage 3 | (n^3 + 2n) fur alle n ∈ N gilt.
Hallo Gast,
welche Aussage 3 gilt für (n^3 + 2n) und n ∈ N?
!
+14913 Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage 3 | (n^3 + 2n) fur alle n ∈ N gilt.
Hallo Gast,
danke für die Erklärung. Diese Art der Darstellung war mir bisher nicht bekannt.
Vollständige Induktion
\((n^3+2n)/3=Q\in \mathbb N\)
Induktionsanfang:
n=1 : linke Seite : \((1^3+2\cdot1)/3=1\)
rechte Seite: \(1\in \mathbb N\)
Für n=1 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!
Die Induktionsannahme (I.A.)lautet:
\((n^3+2n)/3=Q\in\mathbb N\)
Induktionsschluss:
n + 1:
linke Seite:
\(((n+1)^3+2\cdot (n+1))/3\)
\( =(n^3+3n^2+3n+1+2n+2)/3\\ =(n^3+3n^2+5n+3)/3\)
Es war ein Versuch. Ich komme leider nicht weiter. Entschuldigung!
!
+26367 Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage \(3 | (n^3 + 2n)\) fur alle \(n \in \mathbb{ N}\) gilt.
Induktionsanfang:
\(n = 1: \quad 1^3 + 2·1 = 3 \) ist durch 3 ohne Rest teilbar.
Induktionsschluss:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline (n+1)^3 + 2(n+1) &=& n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2n + 2 \\ &=& n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \\ &=& (n^3 + 2n) + (3n^2 + 3n + 3) \\ &=& (n^3 + 2n) + 3(n^2 + n + 1) \\ \hline \end{array}\)
ist durch 3 teilbar, da der erste Summand durch 3 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung
und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 3 ist.
