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Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage 3 | (n^3 + 2n) fur alle n ∈ N gilt.

 01.06.2020
 #1
avatar+10401 
+1

Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage 3 | (n^3 + 2n) fur alle n ∈ N gilt.

 

Hallo Gast,

welche Aussage 3 gilt für (n^3 + 2n) und n ∈ N?

laugh  !

 01.06.2020
 #2
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Dass die aussage (n^3 + 2n) immer durch 3 teilbar ist und dann immernoch in den Natürlichen Zahlen liegt. 

Gast 01.06.2020
 #3
avatar+10401 
+1

Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage 3 | (n^3 + 2n) fur alle n ∈ N gilt.


Hallo Gast,

danke für die Erklärung. Diese Art der Darstellung war mir bisher nicht bekannt.

 

Vollständige Induktion

 

\((n^3+2n)/3=Q\in \mathbb N\)

Induktionsanfang:

n=1 :   linke Seite : \((1^3+2\cdot1)/3=1\)

         rechte Seite: \(1\in \mathbb N\)

Für n=1  sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!

Die Induktionsannahme (I.A.)lautet:

\((n^3+2n)/3=Q\in\mathbb N\)

Induktionsschluss:

n + 1:

linke Seite:

        \(((n+1)^3+2\cdot (n+1))/3\)

   \( =(n^3+3n^2+3n+1+2n+2)/3\\ =(n^3+3n^2+5n+3)/3\)

  

Es war ein Versuch. Ich komme leider nicht weiter. Entschuldigung!

sad  !

 01.06.2020
bearbeitet von asinus  01.06.2020
 #4
avatar+25575 
+2

Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage \(3 | (n^3 + 2n)\) fur alle \(n \in \mathbb{ N}\) gilt.

 

 Induktionsanfang:

\(n = 1: \quad 1^3 + 2·1 = 3 \)  ist durch 3 ohne Rest teilbar.

 

Induktionsschluss:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline (n+1)^3 + 2(n+1) &=& n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2n + 2 \\ &=& n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \\ &=& (n^3 + 2n) + (3n^2 + 3n + 3) \\ &=& (n^3 + 2n) + 3(n^2 + n + 1) \\ \hline \end{array}\)

ist durch 3 teilbar, da der erste Summand durch 3 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung
und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 3 ist.

 

laugh

 02.06.2020

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