Vollständige induktion

Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage 3 | (n^3 + 2n) fur alle n ∈ N gilt.

Hallo Gast,

welche Aussage 3 gilt für (n^3 + 2n) und n ∈ N?

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Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage 3 | (n^3 + 2n) fur alle n ∈ N gilt.

Hallo Gast,

danke für die Erklärung. Diese Art der Darstellung war mir bisher nicht bekannt.

Vollständige Induktion

$(n^3+2n)/3=Q\in \mathbb N$

Induktionsanfang:

n=1 :   linke Seite : $(1^3+2\cdot1)/3=1$

         rechte Seite: $1\in \mathbb N$

Für n=1  sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!

Die Induktionsannahme (I.A.)lautet:

$(n^3+2n)/3=Q\in\mathbb N$

Induktionsschluss:

n + 1:

linke Seite:

        $((n+1)^3+2\cdot (n+1))/3$

   $=(n^3+3n^2+3n+1+2n+2)/3\\ =(n^3+3n^2+5n+3)/3$

Es war ein Versuch. Ich komme leider nicht weiter. Entschuldigung!

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Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage $3 | (n^3 + 2n)$ fur alle $n \in \mathbb{ N}$ gilt.

 Induktionsanfang:

$n = 1: \quad 1^3 + 2·1 = 3$  ist durch 3 ohne Rest teilbar.

Induktionsschluss:
$\begin{array}{|rcll|} \hline (n+1)^3 + 2(n+1) &=& n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2n + 2 \\ &=& n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \\ &=& (n^3 + 2n) + (3n^2 + 3n + 3) \\ &=& (n^3 + 2n) + 3(n^2 + n + 1) \\ \hline \end{array}$

ist durch 3 teilbar, da der erste Summand durch 3 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung
und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 3 ist.