Hallo Liebe Leute, ich muss für die Uni 3 Aufgaben mithilfe der Vollständigen Induktion lösen.
Könnt ihr mir bitte helfen.....hatte es zwar in der Vorlesung, aber kommen finde einfach nicht die passende Umformung.
\(8\mid 5^{2n} - 3^{2n} \\ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{n-k}b^k \\ (2a-1)^n -1 \)
1.bei der oberen: n ist eine natürlíche Zahl
2. bei der mittleren: a und b seien reele zahlen; n eine natürliche
3. Bei der untersten Aufgabe stand noch dabei: das a und n natürlich zahlen sind.
Vielen Vielen Dank für eure Hilfe.
Samuel
+12528 Es handelt sich um den Binomischen Lehrsatz, der mit vollständiger Induktion bewiesen werden soll.
In diesem Video wird jeder Induktionsschritt voll gut erklärt:
https://www.youtube.com/watch?v=BfcWCayt-JA
Viel Spaß beim Anschauen.
+26367 1.)
\(8\mid 5^{2n} - 3^{2n} \)
\(\text{$5^{2n} – 3^{2n}$ ist durch 8 teilbar für alle $n \geq 0$} \)
Induktionsanfang:
\(\text{$n = 0: 5^0 – 3^0 = 1 – 1 = 0$ ist durch $8$ ohne Rest teilbar.}\)
Induktionsschluss:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline 5^{2(n+1)} – 3^{2(n+1)} &=& 5^{2n+2} – 3^{2n+2} \\ &=& 25·5^{2n} – 9·3^{2n} \\ &=& 24·5^{2n} + 1·5^{2n} – 8·3^{2n} – 1·3^{2n} \\ &=& (5^{2n} – 3^{2n}) + 8(3·5^{2n} – 3^{2n}) \\ \hline \end{array}\)
ist durch 8 teilbar, da der erste Summand durch 8 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung
und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 8 ist.
