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Hallo Liebe Leute, ich muss für die Uni 3 Aufgaben mithilfe der Vollständigen Induktion lösen.

Könnt ihr mir bitte helfen.....hatte es zwar in der Vorlesung, aber kommen finde einfach nicht die passende Umformung.

 

\(8\mid 5^{2n} - 3^{2n} \\ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{n-k}b^k \\ (2a-1)^n -1 \)

1.bei der oberen: n ist eine natürlíche Zahl

2. bei der mittleren: a und b seien reele zahlen; n eine natürliche

3. Bei der untersten Aufgabe stand noch dabei: das a und n natürlich zahlen sind.

 

Vielen Vielen Dank für eure Hilfe.

Samuel

 08.01.2020
bearbeitet von Gast  08.01.2020
 #2
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Es handelt sich um den Binomischen Lehrsatz, der mit vollständiger Induktion bewiesen werden soll.

In diesem Video wird jeder Induktionsschritt voll gut erklärt:

https://www.youtube.com/watch?v=BfcWCayt-JA

Viel Spaß beim Anschauen.

 09.01.2020
 #4
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1.)

\(8\mid 5^{2n} - 3^{2n} \)

 

\(\text{$5^{2n} – 3^{2n}$ ist durch 8 teilbar für alle $n \geq 0$} \)

 

Induktionsanfang:

\(\text{$n = 0: 5^0 – 3^0 = 1 – 1 = 0$ ist durch $8$ ohne Rest teilbar.}\)

 

Induktionsschluss:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline 5^{2(n+1)} – 3^{2(n+1)} &=& 5^{2n+2} – 3^{2n+2} \\ &=& 25·5^{2n} – 9·3^{2n} \\ &=& 24·5^{2n} + 1·5^{2n} – 8·3^{2n} – 1·3^{2n} \\ &=& (5^{2n} – 3^{2n}) + 8(3·5^{2n} – 3^{2n}) \\ \hline \end{array}\)

 

ist durch 8 teilbar, da der erste Summand durch 8 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung
und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 8 ist.

 

laugh

 09.01.2020
 #5
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Vielen Dank, hat mir mega geholfen :))

Gast 09.01.2020

29 Benutzer online

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