Hallo Liebe Leute, ich muss für die Uni 3 Aufgaben mithilfe der Vollständigen Induktion lösen.
Könnt ihr mir bitte helfen.....hatte es zwar in der Vorlesung, aber kommen finde einfach nicht die passende Umformung.
\(8\mid 5^{2n} - 3^{2n} \\ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{n-k}b^k \\ (2a-1)^n -1 \)
1.bei der oberen: n ist eine natürlíche Zahl
2. bei der mittleren: a und b seien reele zahlen; n eine natürliche
3. Bei der untersten Aufgabe stand noch dabei: das a und n natürlich zahlen sind.
Vielen Vielen Dank für eure Hilfe.
Samuel
Es handelt sich um den Binomischen Lehrsatz, der mit vollständiger Induktion bewiesen werden soll.
In diesem Video wird jeder Induktionsschritt voll gut erklärt:
https://www.youtube.com/watch?v=BfcWCayt-JA
Viel Spaß beim Anschauen.
1.)
\(8\mid 5^{2n} - 3^{2n} \)
\(\text{$5^{2n} – 3^{2n}$ ist durch 8 teilbar für alle $n \geq 0$} \)
Induktionsanfang:
\(\text{$n = 0: 5^0 – 3^0 = 1 – 1 = 0$ ist durch $8$ ohne Rest teilbar.}\)
Induktionsschluss:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline 5^{2(n+1)} – 3^{2(n+1)} &=& 5^{2n+2} – 3^{2n+2} \\ &=& 25·5^{2n} – 9·3^{2n} \\ &=& 24·5^{2n} + 1·5^{2n} – 8·3^{2n} – 1·3^{2n} \\ &=& (5^{2n} – 3^{2n}) + 8(3·5^{2n} – 3^{2n}) \\ \hline \end{array}\)
ist durch 8 teilbar, da der erste Summand durch 8 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung
und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 8 ist.