Gegeben sei:
f: IR --> IR
x-->xe^x
beweisen sie mit vollständiger induktion für alle n element von IN :
f^n(x)=(x+n)e^x
danke!
Behauptung: f^n(x)=(x+n)*e^x
Ind. Anfang: n=0: f(x)=x*e^x
zur Sicherheit auch für n=1: f'(x)=e^x+x*e^x=e^x*(1+x)=(x+1)*e^x
die Aussage ist also richtig für n-1 f^(n-1)(x)=(x+n-1)e^x
Annahme: wenn Aussage richtig für n-1, dann auch für n
Bew.: f^n(x)=(f^(n-1)(x))'=((x+n-1)*e^x)'=(x*e^x)'+'(n-1)*e^x)'=e^x+x*e^x+(n-1)*e^x=e^x*(1+x+n-1)=e^x*(x+n)=(x+n)*e^x,
was zu beweisen war.
