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Gegeben sei:

f: IR --> IR

 

x-->xe^x

 

beweisen sie mit vollständiger induktion für alle n element von IN :

 

f^n(x)=(x+n)e^x

 

danke!

 27.08.2016
 #1
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Behauptung: f^n(x)=(x+n)*e^x

 

Ind. Anfang: n=0: f(x)=x*e^x

zur Sicherheit auch für n=1: f'(x)=e^x+x*e^x=e^x*(1+x)=(x+1)*e^x

die Aussage ist also richtig für n-1 f^(n-1)(x)=(x+n-1)e^x

Annahme: wenn Aussage richtig für n-1, dann auch für n

 

Bew.: f^n(x)=(f^(n-1)(x))'=((x+n-1)*e^x)'=(x*e^x)'+'(n-1)*e^x)'=e^x+x*e^x+(n-1)*e^x=e^x*(1+x+n-1)=e^x*(x+n)=(x+n)*e^x,

 

was zu beweisen war.

 31.08.2016

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