Vollständige induktion

Wie löse ich die vollständige Induktion $\large{ n^{(n+1)} \ge (n+1)^n}$ wenn $\large{n \ge 3 }$ ?

$\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{n^{(n+1)}} &\ge& \mathbf{(n+1)^n} \quad | \quad n \ge 3 \\\\ n^n\cdot n &\ge& (n+1)^n \quad | \quad : n^n \\\\ n &\ge& \dfrac{(n+1)^n}{n^n} \\\\ n &\ge& \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^n \\\\ \mathbf{n} &\ge& \mathbf{\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n} \quad | \quad n \ge 3 \\ \hline \end{array}$

Die Ungleichheit  $\mathbf{ n^{(n+1)} \ge (n+1)^n}$  ist gleichbedeutend mit  $\mathbf{n \ge \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n}$

Induktionsanfang $n=3$:
$3 \ge \left( 1+\dfrac{1}{3} \right)^3 \\ 3 \ge \left( \dfrac{4}{3} \right)^3 \\ 3 \ge 2.37037037037\ \checkmark$

Induktionsvoraussetzung:

 $\mathbf{n \ge \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n} \qquad n \ge 3$

Induktionsschritt:

$\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{n+1} &\ge& \mathbf{\left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n+1} } \\\\ n+1 &\ge& \left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n} \left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{1} \quad &|\quad \dfrac{1}{n} > \dfrac{1}{1+n}\quad ( n \ge 3 ) \\\\ &\ge& \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^{n} \left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right) \\\\ &\overset{\text{Induktionsvoraussetzung }}\ge& n \cdot \left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right) \\\\ &\ge& n + \underbrace{ \dfrac{n}{n+1} }_{<1} \ \checkmark \\ \hline \end{array}$