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Wie löse ich die vollständige Induktion n^(n+1) ist größer/gleich (n+1)^n wenn n größer gleich 3 

 06.11.2019

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Wie löse ich die vollständige Induktion \(\large{ n^{(n+1)} \ge (n+1)^n}\) wenn \(\large{n \ge 3 }\) ?

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{n^{(n+1)}} &\ge& \mathbf{(n+1)^n} \quad | \quad n \ge 3 \\\\ n^n\cdot n &\ge& (n+1)^n \quad | \quad : n^n \\\\ n &\ge& \dfrac{(n+1)^n}{n^n} \\\\ n &\ge& \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^n \\\\ \mathbf{n} &\ge& \mathbf{\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n} \quad | \quad n \ge 3 \\ \hline \end{array}\)

 

Die Ungleichheit  \(\mathbf{ n^{(n+1)} \ge (n+1)^n}\)  ist gleichbedeutend mit  \(\mathbf{n \ge \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n}\)

 

Induktionsanfang \(n=3\):
\(3 \ge \left( 1+\dfrac{1}{3} \right)^3 \\ 3 \ge \left( \dfrac{4}{3} \right)^3 \\ 3 \ge 2.37037037037\ \checkmark\)

 

Induktionsvoraussetzung:

 \( \mathbf{n \ge \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n} \qquad n \ge 3\)

 

Induktionsschritt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{n+1} &\ge& \mathbf{\left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n+1} } \\\\ n+1 &\ge& \left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n} \left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{1} \quad &|\quad \dfrac{1}{n} > \dfrac{1}{1+n}\quad ( n \ge 3 ) \\\\ &\ge& \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^{n} \left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right) \\\\ &\overset{\text{Induktionsvoraussetzung }}\ge& n \cdot \left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right) \\\\ &\ge& n + \underbrace{ \dfrac{n}{n+1} }_{<1} \ \checkmark \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

 07.11.2019
bearbeitet von heureka  07.11.2019
 #1
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Wie löse ich die vollständige Induktion \(\large{ n^{(n+1)} \ge (n+1)^n}\) wenn \(\large{n \ge 3 }\) ?

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{n^{(n+1)}} &\ge& \mathbf{(n+1)^n} \quad | \quad n \ge 3 \\\\ n^n\cdot n &\ge& (n+1)^n \quad | \quad : n^n \\\\ n &\ge& \dfrac{(n+1)^n}{n^n} \\\\ n &\ge& \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^n \\\\ \mathbf{n} &\ge& \mathbf{\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n} \quad | \quad n \ge 3 \\ \hline \end{array}\)

 

Die Ungleichheit  \(\mathbf{ n^{(n+1)} \ge (n+1)^n}\)  ist gleichbedeutend mit  \(\mathbf{n \ge \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n}\)

 

Induktionsanfang \(n=3\):
\(3 \ge \left( 1+\dfrac{1}{3} \right)^3 \\ 3 \ge \left( \dfrac{4}{3} \right)^3 \\ 3 \ge 2.37037037037\ \checkmark\)

 

Induktionsvoraussetzung:

 \( \mathbf{n \ge \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n} \qquad n \ge 3\)

 

Induktionsschritt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{n+1} &\ge& \mathbf{\left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n+1} } \\\\ n+1 &\ge& \left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n} \left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{1} \quad &|\quad \dfrac{1}{n} > \dfrac{1}{1+n}\quad ( n \ge 3 ) \\\\ &\ge& \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^{n} \left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right) \\\\ &\overset{\text{Induktionsvoraussetzung }}\ge& n \cdot \left( 1+\dfrac{1}{n+1} \right) \\\\ &\ge& n + \underbrace{ \dfrac{n}{n+1} }_{<1} \ \checkmark \\ \hline \end{array}\)

 

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heureka 07.11.2019
bearbeitet von heureka  07.11.2019

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