Vollständige Induktion

Kann mir jemand den Lösungsweg für folgende Gleichung aufzeigen?

\(3\times 3! + 4\times 4! + 5\times 5!+ 6\times 6!+ 7\times 7!+ \ldots + n\times n! = (n+1)! -6 \)

1.
\(\begin{array}{|rcll|} \hline &&\mathbf{ n\times n! } \\ &=& (n+1-1)\times n! \\ &=& \Big((n+1)-1 \Big)\times n! \\ &=& (n+1)\times n!-n! \\ &=& \mathbf{ (n+1)!-n! } \\ \hline \end{array}\)

\(\mathbf{ n\times n! } = \mathbf{ (n+1)!-n! }\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline 3\times 3! &=& 4!-3! \\ 4\times 4! &=& 5!-4! \\ 5\times 5! &=& 6!-5! \\ 6\times 6! &=& 7!-6! \\ 7\times 7! &=& 8!-7! \\ \ldots \\ \mathbf{ n\times n! } &=& \mathbf{ (n+1)!-n! } \\ \hline \end{array} \)

Teleskoping:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline &&\mathbf{ 3\times 3! + 4\times 4! + 5\times 5!+ 6\times 6!+ 7\times 7!+ \ldots +(n-1)\times( n-1)!+ n\times n! } \\ &=& (4!-3!) +(5!-4!)+(6!-5!)+(7!-6!)+(8!-7!)+ \ldots +\Big(n!-(n-1)!\Big) +\Big((n+1)!-n!\Big) \\ &=& -3!+4!-4!+5!-5!+6!-6!+7!-7!+8!-8! +\ldots +n!-n! +(n+1)! \\ &=& - 3! + (n+1)! \\ &=&\mathbf{ (n+1)!-6 } \\ \hline \end{array} \)

Vollständige Induktion
Kann mir jemand den Lösungsweg für folgende Gleichung aufzeigen?
\(3\times 3! + 4\times 4! + 5\times 5!+ 6\times 6!+ 7\times 7!+ \ldots + n\times n! = (n+1)! -6\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && 3\times 3! + 4\times 4! + 5\times 5!+ 6\times 6!+ 7\times 7!+ \ldots + n\times n! \\ &=& \sum \limits_{k=3}^{n} k\times k! \\ \hline \end{array} \)

Wir behaupten:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline \sum \limits_{k=3}^{n} k\times k! = (n+1)! - 6 \\ \hline \end{array}\)

\(n=3:\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \sum \limits_{k=3}^{3} 3\times 3! &=& (3+1)! - 6 \\ && 3\times 3! &=& 4! - 6 \\ && 18 &=& 18 \checkmark \\ \hline \end{array}\)

\(n \to n+1: \)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{ \sum \limits_{k=3}^{n+1} k\times k! } \\ &=& \underbrace{\sum \limits_{k=3}^{n} k\times k!}_{=(n+1)! - 6} + \underbrace{(n+1)(n+1)!}_{=(n+2)!-(n+1)!} \\ &=& (n+1)! - 6+ (n+2)!-(n+1)! \\ &=& - 6+ (n+2)! \\ &=& (n+2)! - 6 \\ &=& (n+1-1)! - 6 \\ &=& \mathbf{ \Big((n+1)-1 \Big)! - 6 } \\ \hline \end{array}\)

Danke heureka!

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