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beweisen sie mithilfe vollständiger induktion :

 

n

∑ 1/(k(k+1)) = 1-1/(n+1)        für n >=1

k=1

 

ich verzweifel an dieser aufgabe

 27.09.2018
 #1
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Beweisen sie mithilfe vollständiger Induktion für alle  \(n\in \mathbb{N}\) :

\(\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}\)

 

Hallo Gast!

 

Vollständige Induktion

\(\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}\)

 

Induktionsanfang:

n=1:  linke Seite: \(\frac{1}{1(1+1)}=\frac{1}{2}\)

      rechte Seite: \(1-\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)

Für n=1 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!

 

Die Induktionsannahme (I.A.)lautet:

\(\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}\)

Induktionsschluss:

n = 1+1:

linke Seite:

\(\frac{1}{1\cdot (1+1)}+\frac{1}{(1+1)\cdot [(1+1)+1)]}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{6+2}{12}=\frac{2}{3}\)

rechte Seite:

\(1-\frac{1}{(1+1)+1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)

Ergebnis:

\(\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}=\)  \(1-\frac{1}{(1+1)+1}\)

                         \(\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\)

Für n = 1+1 sind beide Seiten gleich, und damit ist die I.A. bewiesen  für alle \(n\in \mathbb{N}\) !

 

Gruß

laugh  !

 27.09.2018
bearbeitet von asinus  28.09.2018
bearbeitet von asinus  28.09.2018
bearbeitet von asinus  30.09.2018

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