vollständige induktion lösen

Beweisen sie mithilfe vollständiger Induktion für alle  $n\in \mathbb{N}$ :

$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$

Hallo Gast!

Vollständige Induktion

$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$

Induktionsanfang:

n=1:  linke Seite: $\frac{1}{1(1+1)}=\frac{1}{2}$

      rechte Seite: $1-\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

Für n=1 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!

Die Induktionsannahme (I.A.)lautet:

$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$

Induktionsschluss:

n = 1+1:

linke Seite:

$\frac{1}{1\cdot (1+1)}+\frac{1}{(1+1)\cdot [(1+1)+1)]}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{6+2}{12}=\frac{2}{3}$

rechte Seite:

$1-\frac{1}{(1+1)+1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Ergebnis:

$\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}=$  $1-\frac{1}{(1+1)+1}$

                         $\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$

Für n = 1+1 sind beide Seiten gleich, und damit ist die I.A. bewiesen  für alle $n\in \mathbb{N}$ !

Gruß

  !