beweisen sie mithilfe vollständiger induktion :
n
∑ 1/(k(k+1)) = 1-1/(n+1) für n >=1
k=1
ich verzweifel an dieser aufgabe
+14993 Beweisen sie mithilfe vollständiger Induktion für alle \(n\in \mathbb{N}\) :
\(\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}\)
Hallo Gast!
Vollständige Induktion
\(\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}\)
Induktionsanfang:
n=1: linke Seite: \(\frac{1}{1(1+1)}=\frac{1}{2}\)
rechte Seite: \(1-\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)
Für n=1 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!
Die Induktionsannahme (I.A.)lautet:
\(\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}\)
Induktionsschluss:
n = 1+1:
linke Seite:
\(\frac{1}{1\cdot (1+1)}+\frac{1}{(1+1)\cdot [(1+1)+1)]}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{6+2}{12}=\frac{2}{3}\)
rechte Seite:
\(1-\frac{1}{(1+1)+1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
Ergebnis:
\(\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}=\) \(1-\frac{1}{(1+1)+1}\)
\(\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\)
Für n = 1+1 sind beide Seiten gleich, und damit ist die I.A. bewiesen für alle \(n\in \mathbb{N}\) !
Gruß
!
