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Hallo zusammen,

 

ich brauche Hilfe bei diesen Aufgaben, bei denen es um die vollständige Induktion geht.

 

1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k*2^k=2^n+2\) für \(\forall n \in \mathbb{N_0} \)

 

2. \(3^{2n}-1\) ist für \(\forall n \in \mathbb{N} \) durch 8 ohne Rest teilbar.

 

3. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 2k=n(n+1)\)

 

Wie gehe ich hier am besten vor?

 

Dankeschön!

 01.11.2021
 #1
avatar+2962 
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Der Induktionsanfang klappt ja wahrscheinlich immer ganz gut, oder?

Aussage 1 ist nicht per Induktion beweisbar, weil sie falsch ist: Der letzte Summand der linken Summe ist (n+1)*2n+1 = n*2n+1+2n+1.

Da n*2n+1 > 2n ist und 2n+1 > 2 ist für alle Zahlen n, ist schon der letzte Summand der linken Summe größer als die rechte Seite. Alle Summanden davor sind positiv, weshalb die linke Summe für alle n größer ist als die rechte Seite.

 

Bei Aufgabe 3 sieht man aber schön, wie Induktion funktioniert, grad wenn's um so Summen-Gleichungen geht:

Erstmal der Induktionsanfang:

IA: n=1

\(\sum_{k=1}^1 2k = 2\cdot 1 = 2 = 1\cdot (1+1)\)  - die Aussage stimmt!

Induktionsvoraussetzung IV: Die Aussage gelte für alle Zahlen bis zu einer natürlichen Zahl n. Es gilt also \(\sum_{k=1}^n2k = n(n+1)\) für alle Zahlen bis zu einem festen n.

Induktionsschritt IS: Wir folgern daraus nun, dass die Aussage auch für n+1 gelten muss. Dafür betrachten wir die linke Summe bis n+1 und spalten den letzten Summanden ab. Dann können wir die Induktionsvoraussetzung benutzen:

\(\sum_{k=1}^{n+1}2k = \\ \sum_{k=1}^n2k +2\cdot (n+1) =^* \\ n(n+1) + 2(n+1) = \\ (n+2)(n+1) = \\ (n+1)(n+1+1)\)

Wir sehen: Aus der linken Summe (bis n+1) konnten wir genau den rechten Ausdruck mit n+1 statt n errechnen. Damit ist die Aussage bewiesen.

 01.11.2021
 #2
avatar+2962 
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Jetzt noch zur 2:

Der Induktionsanfang ist wieder einfach:

IA n=1: 32 - 1 = 8 und daher durch 8 ohne Rest teilbar.

IV: Sei nun \(3^{2n}-1\) durch 8 teilbar für eine natürliche Zahl n.

IS: Nun folgern wir wieder die Gültigkeit der Aussage für n+1:

\(3^{2(n+1)}-1 = \\ 3^{2n+2}-1 = \\ 3^2\cdot 3^{2n}-1 = \\ 9\cdot 3^{2n}-1 = \\ (8+1)\cdot 3^{2n}-1 = \\ 8 \cdot 3^{2n} + 3^{2n}-1\)

 

Hier sehen wir: Der erste Summand ist offensichtlich ein Vielfaches von 8. Danach kommt noch \(3^{2n}-1\), was nach der IV auch ein Vielfaches von 8 ist. Weil eine Summe von Vielfachen von 8 ebenfalls Vielfaches von 8 ist, ist also der gesamte Ausdruck durch 8 teilbar. Damit ist die Aussage gezeigt.

 01.11.2021

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