vollständige Induktion - Hilfe

Der Induktionsanfang klappt ja wahrscheinlich immer ganz gut, oder?

Aussage 1 ist nicht per Induktion beweisbar, weil sie falsch ist: Der letzte Summand der linken Summe ist (n+1)*2ⁿ⁺¹ = n*2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹.

Da n*2ⁿ⁺¹ > 2ⁿ ist und 2ⁿ⁺¹ > 2 ist für alle Zahlen n, ist schon der letzte Summand der linken Summe größer als die rechte Seite. Alle Summanden davor sind positiv, weshalb die linke Summe für alle n größer ist als die rechte Seite.

Bei Aufgabe 3 sieht man aber schön, wie Induktion funktioniert, grad wenn's um so Summen-Gleichungen geht:

Erstmal der Induktionsanfang:

IA: n=1

$\sum_{k=1}^1 2k = 2\cdot 1 = 2 = 1\cdot (1+1)$  - die Aussage stimmt!

Induktionsvoraussetzung IV: Die Aussage gelte für alle Zahlen bis zu einer natürlichen Zahl n. Es gilt also $\sum_{k=1}^n2k = n(n+1)$ für alle Zahlen bis zu einem festen n.

Induktionsschritt IS: Wir folgern daraus nun, dass die Aussage auch für n+1 gelten muss. Dafür betrachten wir die linke Summe bis n+1 und spalten den letzten Summanden ab. Dann können wir die Induktionsvoraussetzung benutzen:

$\sum_{k=1}^{n+1}2k = \\ \sum_{k=1}^n2k +2\cdot (n+1) =^* \\ n(n+1) + 2(n+1) = \\ (n+2)(n+1) = \\ (n+1)(n+1+1)$

Wir sehen: Aus der linken Summe (bis n+1) konnten wir genau den rechten Ausdruck mit n+1 statt n errechnen. Damit ist die Aussage bewiesen.

Jetzt noch zur 2:

Der Induktionsanfang ist wieder einfach:

IA n=1: 3² - 1 = 8 und daher durch 8 ohne Rest teilbar.

IV: Sei nun $3^{2n}-1$ durch 8 teilbar für eine natürliche Zahl n.

IS: Nun folgern wir wieder die Gültigkeit der Aussage für n+1:

$3^{2(n+1)}-1 = \\ 3^{2n+2}-1 = \\ 3^2\cdot 3^{2n}-1 = \\ 9\cdot 3^{2n}-1 = \\ (8+1)\cdot 3^{2n}-1 = \\ 8 \cdot 3^{2n} + 3^{2n}-1$

Hier sehen wir: Der erste Summand ist offensichtlich ein Vielfaches von 8. Danach kommt noch $3^{2n}-1$, was nach der IV auch ein Vielfaches von 8 ist. Weil eine Summe von Vielfachen von 8 ebenfalls Vielfaches von 8 ist, ist also der gesamte Ausdruck durch 8 teilbar. Damit ist die Aussage gezeigt.