Vollständige Induktion, Elementare Logik:
\(\bigwedge\limits_{i=1}^n \left( x_i → \bigvee\limits_{j=0}^{i=1} x_j \right) \equiv \bigwedge\limits_{i=1}^n (x_i)→x_0\)
+3976 Du hast dich bei der Angabe verschrieben würde ich sagen: "i=1" als oberes Limit macht wahrscheinlich wenig Sinn, "i-1" passt da besser.
Wir zeigen also
(*) \(\bigwedge\limits_{i=1}^n \left( x_i → \bigvee\limits_{j=0}^{i-1} x_j \right) \equiv \bigwedge\limits_{i=1}^n (x_i)→x_0\)
per Induktion. Für n=1 steht auf beiden Seiten x1 => x0 - und zwei gleiche Aussagen sind wohl logisch äquivalent.
Gelte nun (*) für eine natürliche Zahl n. Wir zeigen, dass dann auch (*) für n+1 gilt:
\(\bigwedge\limits_{i=1}^{n+1} \left( x_i → \bigvee\limits_{j=0}^{i-1} x_j \right) \equiv\bigwedge\limits_{i=1}^{n} \left( x_i → \bigvee\limits_{j=0}^{i-1} x_j \right) \land \left( x_{n+1} → \bigvee\limits_{j=0}^{n} x_j \right) \\ \equiv \left( \bigwedge\limits_{i=1}^n (x_i) \rightarrow x_0 \right) \land \left( x_{n+1} → \bigvee\limits_{j=0}^{n} x_j \right) \\ \equiv \left( \bigwedge\limits_{i=1}^{n+1} (x_i) \rightarrow x_0 \right)\)
Dabei folgt die letzte Äquivalenz, da ja aus xn+1 zumindest eines der xj mit kleinerem Index folgt - wegen der Aussage vor dem "Und" folgt also auch x0 und die Aussage stimmt.
+3976 Du hast dich bei der Angabe verschrieben würde ich sagen: "i=1" als oberes Limit macht wahrscheinlich wenig Sinn, "i-1" passt da besser.
Wir zeigen also
(*) \(\bigwedge\limits_{i=1}^n \left( x_i → \bigvee\limits_{j=0}^{i-1} x_j \right) \equiv \bigwedge\limits_{i=1}^n (x_i)→x_0\)
per Induktion. Für n=1 steht auf beiden Seiten x1 => x0 - und zwei gleiche Aussagen sind wohl logisch äquivalent.
Gelte nun (*) für eine natürliche Zahl n. Wir zeigen, dass dann auch (*) für n+1 gilt:
\(\bigwedge\limits_{i=1}^{n+1} \left( x_i → \bigvee\limits_{j=0}^{i-1} x_j \right) \equiv\bigwedge\limits_{i=1}^{n} \left( x_i → \bigvee\limits_{j=0}^{i-1} x_j \right) \land \left( x_{n+1} → \bigvee\limits_{j=0}^{n} x_j \right) \\ \equiv \left( \bigwedge\limits_{i=1}^n (x_i) \rightarrow x_0 \right) \land \left( x_{n+1} → \bigvee\limits_{j=0}^{n} x_j \right) \\ \equiv \left( \bigwedge\limits_{i=1}^{n+1} (x_i) \rightarrow x_0 \right)\)
Dabei folgt die letzte Äquivalenz, da ja aus xn+1 zumindest eines der xj mit kleinerem Index folgt - wegen der Aussage vor dem "Und" folgt also auch x0 und die Aussage stimmt.
