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Vollständige Induktion, Elementare Logik:

ni=1(xii=1j=0xj)ni=1(xi)x0

 27.11.2020

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 #1
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Du hast dich bei der Angabe verschrieben würde ich sagen: "i=1" als oberes Limit macht wahrscheinlich wenig Sinn, "i-1" passt da besser. 

Wir zeigen also 

 

(*)     ni=1(xii1j=0xj)ni=1(xi)x0 

 

per Induktion. Für n=1 steht auf beiden Seiten x1 => x0 - und zwei gleiche Aussagen sind wohl logisch äquivalent.

 

Gelte nun (*) für eine natürliche Zahl n. Wir zeigen, dass dann auch (*) für n+1 gilt:

 

n+1i=1(xii1j=0xj)ni=1(xii1j=0xj)(xn+1nj=0xj)(ni=1(xi)x0)(xn+1nj=0xj)(n+1i=1(xi)x0)

 

Dabei folgt die letzte Äquivalenz, da ja aus xn+1 zumindest eines der xj mit kleinerem Index folgt - wegen der Aussage vor dem "Und" folgt also auch x0 und die Aussage stimmt.

 29.11.2020
 #1
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Beste Antwort

Du hast dich bei der Angabe verschrieben würde ich sagen: "i=1" als oberes Limit macht wahrscheinlich wenig Sinn, "i-1" passt da besser. 

Wir zeigen also 

 

(*)     ni=1(xii1j=0xj)ni=1(xi)x0 

 

per Induktion. Für n=1 steht auf beiden Seiten x1 => x0 - und zwei gleiche Aussagen sind wohl logisch äquivalent.

 

Gelte nun (*) für eine natürliche Zahl n. Wir zeigen, dass dann auch (*) für n+1 gilt:

 

n+1i=1(xii1j=0xj)ni=1(xii1j=0xj)(xn+1nj=0xj)(ni=1(xi)x0)(xn+1nj=0xj)(n+1i=1(xi)x0)

 

Dabei folgt die letzte Äquivalenz, da ja aus xn+1 zumindest eines der xj mit kleinerem Index folgt - wegen der Aussage vor dem "Und" folgt also auch x0 und die Aussage stimmt.

Probolobo 29.11.2020

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