Vollständige Induktion, Elementare Logik:
n⋀i=1(xi→i=1⋁j=0xj)≡n⋀i=1(xi)→x0
Du hast dich bei der Angabe verschrieben würde ich sagen: "i=1" als oberes Limit macht wahrscheinlich wenig Sinn, "i-1" passt da besser.
Wir zeigen also
(*) n⋀i=1(xi→i−1⋁j=0xj)≡n⋀i=1(xi)→x0
per Induktion. Für n=1 steht auf beiden Seiten x1 => x0 - und zwei gleiche Aussagen sind wohl logisch äquivalent.
Gelte nun (*) für eine natürliche Zahl n. Wir zeigen, dass dann auch (*) für n+1 gilt:
n+1⋀i=1(xi→i−1⋁j=0xj)≡n⋀i=1(xi→i−1⋁j=0xj)∧(xn+1→n⋁j=0xj)≡(n⋀i=1(xi)→x0)∧(xn+1→n⋁j=0xj)≡(n+1⋀i=1(xi)→x0)
Dabei folgt die letzte Äquivalenz, da ja aus xn+1 zumindest eines der xj mit kleinerem Index folgt - wegen der Aussage vor dem "Und" folgt also auch x0 und die Aussage stimmt.
Du hast dich bei der Angabe verschrieben würde ich sagen: "i=1" als oberes Limit macht wahrscheinlich wenig Sinn, "i-1" passt da besser.
Wir zeigen also
(*) n⋀i=1(xi→i−1⋁j=0xj)≡n⋀i=1(xi)→x0
per Induktion. Für n=1 steht auf beiden Seiten x1 => x0 - und zwei gleiche Aussagen sind wohl logisch äquivalent.
Gelte nun (*) für eine natürliche Zahl n. Wir zeigen, dass dann auch (*) für n+1 gilt:
n+1⋀i=1(xi→i−1⋁j=0xj)≡n⋀i=1(xi→i−1⋁j=0xj)∧(xn+1→n⋁j=0xj)≡(n⋀i=1(xi)→x0)∧(xn+1→n⋁j=0xj)≡(n+1⋀i=1(xi)→x0)
Dabei folgt die letzte Äquivalenz, da ja aus xn+1 zumindest eines der xj mit kleinerem Index folgt - wegen der Aussage vor dem "Und" folgt also auch x0 und die Aussage stimmt.