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Ich scheiter leider immer wieder bei diesen beiden Aufgaben :(

 25.11.2020
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Ok, auf gehts - ich fang' mal an mit a): 

Der Induktionsanfang ist ok: Für n=1 ist p1 = p > 1².

Sei nun die Aussage wahr für eine Zahl n.

 

\(p^{n+1} = p^n \cdot p >^* n^2 \cdot p \geq n^2 \cdot 3 = n^2 +2n^2 \geq^{**} n^2 +2n +1 = (n+1)^2\)

 

Bei * wurde die Induktionsvoraussetzung genutzt, ** folgt, weil 2n² > 2n+1 für n>1.

 

Weiter geht's mit b): Der Induktionsanfang klappt auch hier: Für n=1 lautet die Ungleichung 7+1 kleinergleich 8 - das stimmt.

Sei nun die Aussage wahr für ein n.

Dann ist

 \(7^{n+1} +(n+1) = \\ 7 \cdot 7^n +n+1 = \\ (6 \cdot 7^n +1) + 7^n +n \leq^* \\ (6 \cdot 7^n +1) +8^n < \\ 7 \cdot 8^n +8^n = 8^{n+1}\)

 

Ich habe wieder in * die Induktionsvoraussetzung genutzt. Für die letzte Ungleichung mach' ich den Wert in der Klammer einfach größer, damit man alles zusammenfassen kann zu 8^(n+1), was ja das Ziel ist.

 

Ich hoff' das ist klar so! :)

 25.11.2020

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