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Beweise durch vollständige Induktion, dass für n groß genug (wie groß ?) gilt n^3<2^n
Vielleicht könnt ihr mir helfen.
Durch ausprobieren bin ich auf n>=10 gekommen, aber mit der vollständigen induktion bin ich mir nicht sicher.

 16.10.2015

Beste Antwort 

 #1
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+35

Beweise durch vollständige Induktion, dass für n groß genug (wie groß ?) gilt n^3<2^n {nl} Vielleicht könnt ihr mir helfen. {nl} Durch ausprobieren bin ich auf n>=10 gekommen, aber mit der vollständigen induktion bin ich mir nicht sicher.

 

\(\boxed{ \begin{array}{lcrclrcl} \text{Induktionsanfang}&:& ~10^3 &=& 1000 &\qquad 2^{10} &=& 1024. \\\\ \text{Induktionsbehauptung}&: &n^3 &<& 2^n &\qquad ~ n &\ge& 10 \\\\ \text{Induktionsschritt}&: &(n+1)^3 &<& 2^{n+1} \end{array} }\)

 

Induktionsschluss:

\(\begin{array}{lcll} 2^{n+1} &=&2^{n}\cdot 2 \qquad & \boxed{~\text{Induktionsbehauptung}~ n^3 < 2^n ~}\\ &<&n^3\cdot 2\\ &=& n^3+n^3\\ &\le&n^3+10n^2 \qquad & \boxed{~n^3\ge10n^2 \\ \quad 10^3 = 10\cdot 10^2 \\ \quad 11^3 > 10\cdot 11^2 \\ \dots ~}\\ &=& n^3+3n^2+7n^2\\ &\le&n^3+3n^2+70n \qquad & \boxed{~7n^2\ge 70n \\ \quad 7\cdot 10^2 = 70\cdot 10=700 \\ \quad 7\cdot 11^2 > 70\cdot 11=7\cdot 10\cdot 11 \\ \dots ~}\\ &=& n^3+3n^2+3n+67n\\ &<&n^3+3n^2+3n+1 \qquad & \boxed{~ 67n>1 \\ \quad 67\cdot 10 > 1 \\ \quad 67\cdot 11 > 1 \\ \dots ~}\\ &=& (n+1)^3\\ \end{array}\)

 

laugh

 16.10.2015
bearbeitet von heureka  16.10.2015
bearbeitet von heureka  16.10.2015
 #1
avatar+26329 
+35
Beste Antwort

Beweise durch vollständige Induktion, dass für n groß genug (wie groß ?) gilt n^3<2^n {nl} Vielleicht könnt ihr mir helfen. {nl} Durch ausprobieren bin ich auf n>=10 gekommen, aber mit der vollständigen induktion bin ich mir nicht sicher.

 

\(\boxed{ \begin{array}{lcrclrcl} \text{Induktionsanfang}&:& ~10^3 &=& 1000 &\qquad 2^{10} &=& 1024. \\\\ \text{Induktionsbehauptung}&: &n^3 &<& 2^n &\qquad ~ n &\ge& 10 \\\\ \text{Induktionsschritt}&: &(n+1)^3 &<& 2^{n+1} \end{array} }\)

 

Induktionsschluss:

\(\begin{array}{lcll} 2^{n+1} &=&2^{n}\cdot 2 \qquad & \boxed{~\text{Induktionsbehauptung}~ n^3 < 2^n ~}\\ &<&n^3\cdot 2\\ &=& n^3+n^3\\ &\le&n^3+10n^2 \qquad & \boxed{~n^3\ge10n^2 \\ \quad 10^3 = 10\cdot 10^2 \\ \quad 11^3 > 10\cdot 11^2 \\ \dots ~}\\ &=& n^3+3n^2+7n^2\\ &\le&n^3+3n^2+70n \qquad & \boxed{~7n^2\ge 70n \\ \quad 7\cdot 10^2 = 70\cdot 10=700 \\ \quad 7\cdot 11^2 > 70\cdot 11=7\cdot 10\cdot 11 \\ \dots ~}\\ &=& n^3+3n^2+3n+67n\\ &<&n^3+3n^2+3n+1 \qquad & \boxed{~ 67n>1 \\ \quad 67\cdot 10 > 1 \\ \quad 67\cdot 11 > 1 \\ \dots ~}\\ &=& (n+1)^3\\ \end{array}\)

 

laugh

heureka 16.10.2015
bearbeitet von heureka  16.10.2015
bearbeitet von heureka  16.10.2015
 #2
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Autsch. Der gesamte Induktionsschluss ist falsch und keiner scheint es zu bemerken oder sich daran zu stören.

 

"kleiner" und "kleiner gleich" durch "größer" und "größer gleich" tauschen!

 18.10.2015
bearbeitet von Gast  18.10.2015
bearbeitet von Gast  18.10.2015
 #3
avatar+26329 
+20

Sorry,

Bitte "kleiner" und "kleiner gleich" durch "größer" und "größer gleich" tauschen! Nur außerhalb der Umrahmungen.

Vielen Dank Gast!

 

Schade, ich kann leider meinen  Beitrag nicht mehr nachträglich ändern.

 

blushlaugh

 19.10.2015
bearbeitet von heureka  19.10.2015
 #4
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DANKE, DANKE!!!

 31.10.2015

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