Vollständige Induktion

Beweise durch vollständige Induktion, dass für n groß genug (wie groß ?) gilt n^3<2^n {nl} Vielleicht könnt ihr mir helfen. {nl} Durch ausprobieren bin ich auf n>=10 gekommen, aber mit der vollständigen induktion bin ich mir nicht sicher.

$\boxed{ \begin{array}{lcrclrcl} \text{Induktionsanfang}&:& ~10^3 &=& 1000 &\qquad 2^{10} &=& 1024. \\\\ \text{Induktionsbehauptung}&: &n^3 &<& 2^n &\qquad ~ n &\ge& 10 \\\\ \text{Induktionsschritt}&: &(n+1)^3 &<& 2^{n+1} \end{array} }$

Induktionsschluss:

$\begin{array}{lcll} 2^{n+1} &=&2^{n}\cdot 2 \qquad & \boxed{~\text{Induktionsbehauptung}~ n^3 < 2^n ~}\\ &<&n^3\cdot 2\\ &=& n^3+n^3\\ &\le&n^3+10n^2 \qquad & \boxed{~n^3\ge10n^2 \\ \quad 10^3 = 10\cdot 10^2 \\ \quad 11^3 > 10\cdot 11^2 \\ \dots ~}\\ &=& n^3+3n^2+7n^2\\ &\le&n^3+3n^2+70n \qquad & \boxed{~7n^2\ge 70n \\ \quad 7\cdot 10^2 = 70\cdot 10=700 \\ \quad 7\cdot 11^2 > 70\cdot 11=7\cdot 10\cdot 11 \\ \dots ~}\\ &=& n^3+3n^2+3n+67n\\ &<&n^3+3n^2+3n+1 \qquad & \boxed{~ 67n>1 \\ \quad 67\cdot 10 > 1 \\ \quad 67\cdot 11 > 1 \\ \dots ~}\\ &=& (n+1)^3\\ \end{array}$

Autsch. Der gesamte Induktionsschluss ist falsch und keiner scheint es zu bemerken oder sich daran zu stören.

"kleiner" und "kleiner gleich" durch "größer" und "größer gleich" tauschen!

Sorry,

Bitte "kleiner" und "kleiner gleich" durch "größer" und "größer gleich" tauschen! Nur außerhalb der Umrahmungen.

Vielen Dank Gast!

Schade, ich kann leider meinen  Beitrag nicht mehr nachträglich ändern.

DANKE, DANKE!!!