Hallo zusammen!
Ich soll folgenden Beweis führen und komme nicht auf eine halbwegs formale Idee:
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Voraussetzungen: V ist ein Vektorraum über K und U1, U2 sind Untervektorräume von V.
Aussage, die bewiesen werden soll: Wenn $$U_1 \cup U_2 = V$$$$U_1 \cup U_2 = V$$, dann ist U1 = V oder U2 = V.
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Mein Beweisansatz (grob umrissen) aus zwei Fällen:
(1) U2 sei Untervektorraum von U1, dann ist, weil U2 dann Teilmenge von U1 ist, auch die Vereinigung gleich U1 woraus dann sofort folgen würde nach Bedingung, dass U1 = V. Analog ist dies umgekehrt zu sehen, so als wäre U1 Untervektorraum und Teilmenge von U2, woraus folgen würde, dass U2 = V.
(2) Weder sei U2 Untervektorraum von U1 noch umgekehrt. Dann gibt es einen Vektor x1, der nicht in U2 aber in U1 und einen Vektor x2, der nicht in U1 aber in U2 ist. Die Summe, das würde ich jetzt beweisen wollen, also x1 + x2 liegt jetzt zwar in V, soweit beweisbar, aber nicht in U1 und auch nicht in U2 und das eben zu beweisen ist mein Problem.
Hätte ich eine Definition/einen Satz/... , die/der mir sagte, dass für alle a in irgendeinem W gilt, dass a + b genau dann in W ist, wenn auch b in W ist, dann wäre hier alles klar
aber so...
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Danke schon einmal im Voraus!
Der Verzweifelte Sucher
P.S.: Der Beweis soll besonders schön und in drei Zeilen unterzubringen sein... ...und das da oben sollte nur ein Ansatz sein, der Beweis darf auch ruhig in vollkommen anderer Herangehensweise geschehen... ...nochmals Danke!
