Für einen Induktionsbeweis soll im letzten schritt folgende Rechnung vereinfacht werden.
Kann man das hier noch vereinfachter schreiben? (mit Rechenregeln)
Bin für jede Hilfe Dankbar eine lange Internetsuche hat bis jetzt nichts ergeben :(
+26393 Für einen Induktionsbeweis soll im letzten schritt folgende Rechnung vereinfacht werden.
\(\begin{array}{rclrcl} && 3^{n+1} - 36\cdot \sum\limits_{k=0}^{n-3} (3^k) - 16 \\ &=& 3^n3^1 - 36\cdot \sum\limits_{k=0}^{n-3} (3^k) - 16 \\ &=& 3\cdot 3^n - 36\cdot \underbrace{\sum\limits_{k=0}^{n-3} (3^k)}_{\text{geometrische Reihe}} - 16 \\ \end{array} \)
\(\qquad \begin{array}{rclrcl} && &s = \sum\limits_{k=0}^{n-3} (3^k) &=& 1+3^1+3^2+\ldots + 3^{n-4}+3^{n-3} \\ && &3s &=& 3^1+3^2+\ldots + 3^{n-4}+3^{n-3}+3^{n-2} \\ \hline &&& s-3s &=& 1-3^{n-2} \\ &&& 3s-s &=& 3^{n-2} - 1 \\ &&& 2s &=& 3^{n-2} - 1 \\ &&& s &=& \dfrac{3^{n-2} - 1}{2} \\ && & \mathbf{\sum\limits_{k=0}^{n-3} (3^k)} & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{3^{n-2} - 1}{2}} \\ \end{array} \)
\(\begin{array}{rclrcl} &=& 3\cdot 3^n - 36\cdot \dfrac{3^{n-2} - 1}{2} - 16 \\ &=& 3\cdot 3^n - 18\cdot (3^{n-2} - 1) - 16 \\ &=& 3\cdot 3^n - 18\cdot 3^{n-2} +18- 16 \\ &=& 3\cdot 3^n - 18\cdot 3^n3^{-2} + 2 \\ &=& 3\cdot 3^n - \dfrac{18\cdot 3^n}{9} + 2 \\ &=& 3\cdot 3^n - 2\cdot 3^n + 2 \\ &\mathbf{=}& \mathbf{ 3^n + 2 } \\ \end{array}\)
\(\large 3^{n+1} - 36\cdot \sum\limits_{k=0}^{n-3} (3^k) - 16 = \color{red}3^n + 2 \)
