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wie kann ich die Formel: q1 + q2 + q3 . . . . q = qn+1 - q / q-1    durch völlstandige Induktion beweisen ? ( q ist die reelle Zahlen außer 1 )

 07.11.2018
 #1
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Wie kann ich die Formel:
\(\displaystyle \large{q^1 + q^2 + q^3 +\ldots+ q^n = \dfrac{q^{n+1} - q}{q-1} }\)
durch völlstandige Induktion beweisen ?
für alle \( n \in \mathbb{N}\):

 

\(\bf{\text{Beweise mit vollständiger Induktion:}} \\ \displaystyle q^1 + q^2 + q^3 +\ldots+ q^n = \dfrac{q^{n+1} - q}{q-1} \)

 

\(\text{Induktionsanfang:}\)

\(\begin{array}{|lll|} \hline n=1 & \text{linke Seite:} & q^1 \\ & & =q \\\\ & \text{rechte Seite:} & \dfrac{q^{1+1} - q} {q-1} \\ & &= \dfrac{q^{2} - q} {q-1} \\ & &= \dfrac{q\cdot q - q} {q-1} \\ & &= \dfrac{q\cdot( q - 1)} {q-1} \\ & &= q\cdot \left( \dfrac{q - 1} {q-1} \right) \\ & &= q \\ \hline \end{array}\)

 

\(\text{Für $\mathbf{n=1}$ sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!}\)

 

\(\text{Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle q^1 + q^2 + q^3 +\ldots+ q^n = \dfrac{q^{n+1} - q}{q-1} \\ \hline \end{array}\)

 

\(\text{Der Induktionsschluss von $\mathbf{n}$ nach $\mathbf{n+1}$:}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle q^1 + q^2 + q^3 +\ldots+ q^n + q^{n+1} &=& \dfrac{q^{(n+1)+1} - q}{q-1} \\ \hline \end{array}\)

 

\(\bf{\text{linke Seite:}}\)

\(\begin{array}{|llrcll|} \hline &\mathbf{ q^1 + q^2 + q^3 +\ldots+ q^n + q^{n+1} }\\\\ \overset{I.A.}{=} & \dfrac{q^{n+1} - q}{q-1} + q^{n+1} \\\\ = & \dfrac{q^{n+1} - q}{q-1} + q^{n+1}\cdot \left(\dfrac{q-1}{q-1}\right) \\\\ = & \dfrac{q^{n+1} - q+ q^{n+1}(q-1)}{q-1} \\\\ = & \dfrac{q^{n+1} - q+ q^{n+2}-q^{n+1} }{q-1} \\\\ = & \dfrac{ - q+ q^{n+2}}{q-1} \\\\ \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{ q^{n+2}- q }{q-1} }\\ \hline \end{array} \)

 

\(\bf{\text{rechte Seite:}}\)

\(\begin{array}{|ll|} \hline & \mathbf{\dfrac{q^{(n+1)+1} - q}{q-1} } \\\\ \mathbf{=}& \mathbf{\dfrac{ q^{n+2}- q }{q-1} }\\ \hline \end{array}\)

 

laugh

 08.11.2018

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