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Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

 

(i) an = \(\frac{3n^2 +n}{4(√n)^3+2n^2}\)

 

(ii) bn = \(\frac{7n^\frac{3}{2}-n -2\sqrt{n}}{(\sqrt{n})^3+n^\frac{1}{2}+n}\)

 

(iii) cn = \(\sqrt{n^4+n^2+1}-n^2-1\)

 

Hallo ich bräuchte hier Hilfe bei diesen Aufgaben. Danke schonmal

 26.01.2022
 #1
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Was hast du denn schon probiert? Würde spontan behaupten, dass alle Folgen konvergieren. Um hier selbst sinnvolle Annahmen zu machen, könntest du einfach mal sehr große Zahlen für n einsetzen (100, 1000, 10000) und schauen, ob dir dabei etwas auffällt. Vielleicht findest du so auch gleich heraus, welchen Grenzwert du nachweisen möchtest.

 

Bei den Brüchen kann's sehr hilfreich sein, die größte n-Potenz in Zähler&Nenner auszuklammern und dann zu kürzen. So sieht man eigentlich sehr gut, was der Grenzwert ist. Ich mach's mal für Aufgabe a) vor, bei b) schaffst du's dann bestimmt selbst ;)

 

\(\frac{3n^2+n}{4\sqrt n ^3+2n^2} = \frac{3n^2+n}{2n^2+4n^{\frac{3}{2}}} = \frac{n^2\cdot (3+\frac{1}{n})}{n^2\cdot (2+4n^{-\frac{1}{2}})} = \frac{3+\frac{1}{n}}{2+4n^{-\frac{1}{2}}}\)  (im ersten Schritt habe ich nur die Wurzel umgeschrieben und im Nenner umsortiert.)

 

Jetzt sehen wir: Für sehr große n geht 1/n und 4n^(-1/2) gegen 0 und daher der ganze Bruch gegen 3/2=1,5.

 26.01.2022

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