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Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen der Funktion 𝑓 mit der algebraischen Repräsentation f(x)=a(x+1)2+e mit 𝑎,𝑒∈ℝ,𝑎≠0 auf [−1;∞[ und erläutern Sie, warum f auf ]−1−𝑝;−1+𝑝] mit 𝑝 > 0 keine Umkehrfunktion besitzt.

Vielleicht kann die ja jemand lösen :)

 14.10.2021
 #1
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Wir fangen mit der Umkehrfunktion an. Dabei nutzen wir bei (*), dass auf dem gegebenen Bereich x+1>0 ist.

 

\(f: y = a(x+1)^2+e \\ \Rightarrow f^{-1}: x = a(y+1)^2+e \\ x = a(y+1)^2+e \ \ \ | -e\\ x-e = a(y+1)^2 \ \ \ |:a \\ \frac{x-e}{a} = (y+1)^2 \ \ \ |\sqrt. \\ \sqrt{\frac{x-e}{a}} = y+1 \ \ \ |-1 \\ \sqrt{\frac{x-e}{a}}-1 = y \\ \Rightarrow f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x-e}{a}}-1\)

 

Für die Zusatz-Frage können wir beispielsweise zeigen, dass in dem gegebenen Intervall verschiedene x-Werte existieren, deren Bild gleich ist:

Wir betrachten dafür die x-Werte -1-p/2 und -1+p/2. Die sind nicht nur ungleich (denn p>0), sondern auch im Intervall enthalten. Für diese Werte berechnen wir den zugehörigen Funktionswert:

f(-1-p/2) = a(-1-p/2+1)2+e = a(-p/2)2+e = ap2/4 +e

f(-1+p/2) = a(-1+p/2+1)2+e = a(p/2)2+e = ap2/4+e

 

Wir sehen: Die Funktionswerte sind gleich, obwohl die x-Werte unterschiedlich sind. Daher ist die Funktion nicht umkehrbar.

 14.10.2021

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