sin(3y)+sin(2y+ (Pi/3))=0
Ich muss dazu die Lösungsmenge finden, könnt ihr helfen?
+15069 sin(3y)+sin(2y+ (Pi/3))=0
Ich muss dazu die Lösungsmenge finden.
Hallo Gast!
\(sin(3y)+sin(2y+ (\pi/3))=0\)
Mit den Additionstheoremen lassen sich trigonometrische Funktionen
mit alleinstehendem Argument y erstellen:
\(sin(3y)=3 sin(y)-4sin^3(y)\)
\(sin(2y) = 2 · sin(y) · cos(y)\)
\(sin(2y)=2\ sin (y)\cdot \sqrt{1-sin^2(y)}\)
\(cos(2y) = cos^2(y) - sin^2(y)\)
\(cos(2y) = 1-2\ sin^2(y) \)
\(sin(X ± Y) = sin(X) · cos(Y) ± sin(Y) · cos(X)\)
\(sin(2y ± \pi/3) = [sin(2y)] · cos(\pi/3) ± sin(\pi/3) · [cos(2y) ]\)
\(sin(2y ± \pi/3) = [ 2 · sin(y) · cos(y)] · cos(\pi/3)\\ \ ± sin(\pi/3) · [cos^2(y) - sin^2(y)]\)
\([sin(3y)]+[sin(2y+ (\pi/3))]=0\)
\([3 sin(y)-4sin^3(y)]+[2 · sin(y) · cos(y)] · cos(\pi/3)\\ \ ± sin(\pi/3) · [cos^2(y) - sin^2(y)]=0\)
\(cos^2 y = 1-sin^2y\\ cos\ y=\sqrt{1-sin^2y}\)
Nach dem Ersetzen von cos (y) und cos²(y) durch die
entsprechenden Terme entsteht eine Gleichung 3. Grades
mit der Variablen sin y.
Morgen geht es weiter.
!
+26397 Hallo asinus,
aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten,
mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline \sin(u) + \sin(v) = 2\cdot \sin(\frac{u+v}{2})\cdot \cos(\frac{u-v}{2}) \\ \hline \end{array}\)
Dank dieser Faktorisierung geht der Ansatz zur Lösung recht einfach, doch die Lösungenmenge zu bestimmen
ist doch recht mühsam:
\(\begin{array}{|lrcll|} \hline &\sin(3y)+\sin(2y+ \frac{\pi}{3} ) &=& 0 \\\\ &\sin(3y)+\sin(2y+ \frac{\pi}{3}) = 2\cdot \sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0\\ & 2\cdot \sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0 & |~ : 2 \\ &\underbrace{\sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right)}_{=0}\cdot \underbrace{\cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right)}_{=0} &=& 0 \\\\ (1) & \sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0 \\ & \Rightarrow \text{Lösungenmenge für } y \\ (2) & \cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0 \\ & \Rightarrow \text{weitere Lösungenmenge für } y \\ \hline \end{array}\)
