Trigonometrische Gleichungen

sin(3y)+sin(2y+ (Pi/3))=0
Ich muss dazu die Lösungsmenge finden.

Hallo Gast!

$sin(3y)+sin(2y+ (\pi/3))=0$

Mit den Additionstheoremen lassen sich trigonometrische Funktionen

mit alleinstehendem Argument y erstellen:

$sin(3y)=3 sin(y)-4sin^3(y)$

$sin(2y) = 2 · sin(y) · cos(y)$

$sin(2y)=2\ sin (y)\cdot \sqrt{1-sin^2(y)}$

$cos(2y) = cos^2(y) - sin^2(y)$

$cos(2y) = 1-2\ sin^2(y)$

$sin(X ± Y) = sin(X) · cos(Y) ± sin(Y) · cos(X)$

$sin(2y ± \pi/3) = [sin(2y)] · cos(\pi/3) ± sin(\pi/3) · [cos(2y) ]$

$sin(2y ± \pi/3) = [ 2 · sin(y) · cos(y)] · cos(\pi/3)\\ \ ± sin(\pi/3) · [cos^2(y) - sin^2(y)]$

$[sin(3y)]+[sin(2y+ (\pi/3))]=0$

$[3 sin(y)-4sin^3(y)]+[2 · sin(y) · cos(y)] · cos(\pi/3)\\ \ ± sin(\pi/3) · [cos^2(y) - sin^2(y)]=0$

$cos^2 y = 1-sin^2y\\ cos\ y=\sqrt{1-sin^2y}$

Nach dem Ersetzen von cos (y) und cos²(y)  durch die

entsprechenden Terme entsteht eine Gleichung 3. Grades

mit der Variablen sin y.

Morgen geht es weiter.

  !

Hallo asinus,

aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten,

mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:

$\begin{array}{|rcll|} \hline \sin(u) + \sin(v) = 2\cdot \sin(\frac{u+v}{2})\cdot \cos(\frac{u-v}{2}) \\ \hline \end{array}$

Dank dieser Faktorisierung geht der Ansatz zur Lösung recht einfach, doch die Lösungenmenge zu bestimmen

ist doch recht mühsam:

$\begin{array}{|lrcll|} \hline &\sin(3y)+\sin(2y+ \frac{\pi}{3} ) &=& 0 \\\\ &\sin(3y)+\sin(2y+ \frac{\pi}{3}) = 2\cdot \sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0\\ & 2\cdot \sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0 & |~ : 2 \\ &\underbrace{\sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right)}_{=0}\cdot \underbrace{\cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right)}_{=0} &=& 0 \\\\ (1) & \sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0 \\ & \Rightarrow \text{Lösungenmenge für } y \\ (2) & \cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0 \\ & \Rightarrow \text{weitere Lösungenmenge für } y \\ \hline \end{array}$