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sin(3y)+sin(2y+ (Pi/3))=0

Ich muss dazu die Lösungsmenge finden, könnt ihr helfen?

Guest 03.12.2017
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sin(3y)+sin(2y+ (Pi/3))=0
Ich muss dazu die Lösungsmenge finden.

 

Hallo Gast!

 

\(sin(3y)+sin(2y+ (\pi/3))=0\)

 

Mit den Additionstheoremen lassen sich trigonometrische Funktionen

mit alleinstehendem Argument y erstellen:

 

\(sin(3y)=3 sin(y)-4sin^3(y)\)

 

\(sin(2y) = 2 · sin(y) · cos(y)\)

\(sin(2y)=2\ sin (y)\cdot \sqrt{1-sin^2(y)}\)

 

\(cos(2y) = cos^2(y) - sin^2(y)\)

\(cos(2y) = 1-2\ sin^2(y) \)

 

 

\(sin(X ± Y) = sin(X) · cos(Y) ± sin(Y) · cos(X)\)

\(sin(2y ± \pi/3) = [sin(2y)] · cos(\pi/3) ± sin(\pi/3) · [cos(2y) ]\)

 

 

\(sin(2y ± \pi/3) = [ 2 · sin(y) · cos(y)] · cos(\pi/3)\\ \ ± sin(\pi/3) · [cos^2(y) - sin^2(y)]\)

 

\([sin(3y)]+[sin(2y+ (\pi/3))]=0\)

 

\([3 sin(y)-4sin^3(y)]+[2 · sin(y) · cos(y)] · cos(\pi/3)\\ \ ± sin(\pi/3) · [cos^2(y) - sin^2(y)]=0\)

 

\(cos^2 y = 1-sin^2y\\ cos\ y=\sqrt{1-sin^2y}\)

 

Nach dem Ersetzen von cos (y) und cos²(y)  durch die

entsprechenden Terme entsteht eine Gleichung 3. Grades

mit der Variablen sin y.

Morgen geht es weiter.

laugh  !

asinus  04.12.2017
bearbeitet von asinus  04.12.2017
bearbeitet von asinus  05.12.2017
bearbeitet von asinus  06.12.2017
 #2
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Hallo asinus,

 

aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten,

mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \sin(u) + \sin(v) = 2\cdot \sin(\frac{u+v}{2})\cdot \cos(\frac{u-v}{2}) \\ \hline \end{array}\)

 

Dank dieser Faktorisierung geht der Ansatz zur Lösung recht einfach, doch die Lösungenmenge zu bestimmen

ist doch recht mühsam:

 

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline &\sin(3y)+\sin(2y+ \frac{\pi}{3} ) &=& 0 \\\\ &\sin(3y)+\sin(2y+ \frac{\pi}{3}) = 2\cdot \sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0\\ & 2\cdot \sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0 & |~ : 2 \\ &\underbrace{\sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right)}_{=0}\cdot \underbrace{\cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right)}_{=0} &=& 0 \\\\ (1) & \sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0 \\ & \Rightarrow \text{Lösungenmenge für } y \\ (2) & \cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0 \\ & \Rightarrow \text{weitere Lösungenmenge für } y \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

heureka  05.12.2017

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