Textaufgabe zu Wendepunkte

Textaufgabe zu Wendepunkte

Hallo Gast!

Zuerst bestimmen wir die Funktionsgleichung von f "(x).

f "(x) ist die zweite Ableitung der Stammfunktion f(x).

$f''(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

$P_1\ (0,8;2),\ P_2\ (0;0),\ P_3\ (2;0),\ P_4\ (4;0)$

$P_1:\ \ 2=0,512a+0,64b+0,8c\ [\cdot 5\ ]\\ P_2:\ \ 0=d\\ P_3:\ \ 0=8a+4b+2c\ [\cdot 2\ ]\\ P_4:\ \ 0=64a+16b+4c$   $multipl. (5)\\ \ \\ multipl.(2)$

$10=2,56a+3,2b+4c\\\color{blue} 0=d\\ 0=16a+8b+4c\\ 0=64a+16b+4c$                   $(10)\ nach\ rechts\\(4c)\ nach\ links$

$-4c=2,56a+3,2b-10\\ -4c=16a+8b\\ -4c=64a+16b$     $aus\ drei\ Gleichungen\ mach\ zwei$

$2,56a+3,2b-10=16a+8b\\ 2,56a+3,2b-10=64a+16b\\$   (add./subtr.)   (-10 bleibt links) 

$-10=13,44a+4,8b\ \ [\times 2\frac{2}{3}]\\ -10=61,44a+12,8b$        $multipl. \frac{8}{3}=2,\overline {66}$

$-26,6\overline6=35,84a+12,8b\\ -10=61,44a+12,8b\ \color{blue} [\ subtr.]\\ ----------- \\ -16,6\overline6=-25,6a\ \color{blue}[\ isoliere\ a\ ]\\ -\frac{833}{50}=-\frac{128}{5}a\\ a=\frac{833}{50}\times\frac{5}{128}=\frac{833}{1280}\\ $

$a=\frac{833}{1280}=0,65078125$    

$-10=61,44a+12,8b\\ b=-\frac{10+61,44a}{12,8}=-\frac{10+61.44\times 0,65078125}{12,8}$   $a\ einsetzen$

$b=-3,905$

$-4c=16a+8b \ \color{blue}[\ a\ und\ b\ einsetzen\\ -4c=16\times 0,65078125+8\times (-3,905)\\ -4c=-20,8275$

$c=5,206875$

$\large f''(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

$\large f''(x)=0,65078125x^3-3,905x^2+5,206875x$

Um zur ersten Ableitung der Stammfunktion f(x),

nämlich f '(x) , zu kommen, wird f ''(x) integriert.

Potenzgesetz: $\int \ x^n\ dx =\frac{1}{n+1}\ x^{n+1}+C$

$f'=\int f''(x) \, dx +C$

$f'(x)=\int (0,65078125x^3-3,905x^2+5,206875x)\ \large dx +C$

$\large f'(x)=\int (\frac{0,65078125x^4}{4}-\frac{3,905x^3}{3}+\frac{5,206875x^2}{2})\ dx +C$

$\large f'(x)=0,1626953125\ x^4-1,301\overline{66}\ x^3+2,6034376x^2 +C$

Antwort zu Frage a)

Die Steigung der Stammfunktion f(x) nimmt im Bereich {-0,3 < x < 0} ab

und im Bereich {0 < x < 2} zu. Bei {x=0} ist ein Sattelpunkt.

Der Graph ist im Bereich {-0,3 < x < 2} keine Rechtskurve.

Antwort zu Frage b)

Der Graph de Stammfunktion hat bei {x=2} eine Wendestelle.

f '(2) ist ein Maximum (größte Steigung), f "(2) = 0.

Antwort zu Frage c)

Der Graph der Stammfunktion hat bei {x=0} einen Sattelpunkt.

Erläutert bei Antwort a).

Antwort zu Frage d)

Ja, der Graph der Stammfunktion änndertsein Krümmungsverhalten.

Bei {x=0,8} hat f '(x) eine Wendestelle, f "(x) ein Maximum.

  !    Für ein Dankeschön wäre ich dankbar.