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Hallo

 

Ich hätte eine Augabe, an der ich verzweifle.

Augabenstellung: Welches n-Eck hat 18 Diagonale mehr als Seiten?

 

Die Aufgabe sollte man durch ein quadratische Gleichung lösen. Könnte hier mir jemand weiterhelfen?

 

Danke & Gruss

 03.07.2016
 #1
avatar+41 
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Die Anzahl der Diagonalen lässt sich mit der Formel:

 

\(d=\frac{1}{2}(x^2-3x)\) ermitteln. \(x\) ist in dem Fall die Anzahl der Ecken. Die Anzahl der Ecken ist gleich der Anzahl der Seiten eines Polygons.

 

Jetzt ist es die Aufgabe herauszufinden, welches Polygon (n-Eck) 18 Diagonalen mehr hat als Seiten:

 

Also ist \(d = x+18\). Dies brauchen wir jetzt nur in die Formel zu geben.

 

\(x+18=\frac{1}{2}(x^2-3x)\). Jetzt muss nach x umgestellt werden:

 

Das kann man ganz einfach in den web2.0rechner eingeben und der löst dir das dann ganz automatisch :)

Dabei kommen die Lösungen \(x_{1}=9,x_{2}=-4\). Man kann leicht erkennen, dass die -4 ein rein mathematisches Ergebnis ist und nichts mit der Realität zu tun hat.

 

Überprüfe jetzt mit der Gleichung vom Anfang, ob bei 9 Ecken / 9 Seiten demnach 18 mehr Diagonalen existieren:

 

\(d = \frac{1}{2}(81-27)\)

\(d = 27\)

\(d - 9 = 18\)

\(27-9=18\)

 

Das Gesuchte n-Eck. dass 18 mehr Diagonalen als Seiten hat, ist also ein 9-Eck :)

 03.07.2016
bearbeitet von Cediwelli  03.07.2016
 #2
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Hallo und guten Tag  Cediwelli !

 

Augabenstellung: Welches n-Eck hat 18 Diagonale mehr als Seiten?

 

Ein  n - Eck   hat  d  Diagonalen    :     \(d=\frac{n*(n-3)}{2}\)

 

!8  Diagonalen mehr  als  Seiten      =>         \(n+18=\frac{n^2-3n}{2}\)       
\(2n+36=n^2-3n \)

\(n^2-5n-36=0\)                                                     
\(n=2,5+\sqrt{6,25+36}\)

\(n=9\)

 

sqrt((6.25+36))+2.5 = 9

 

Antwort :  Ein  9 - Eck hat  (18 + 9 = 27 ) Diagonalen .

 

Probe :  9*6/2 = 27

 

Gruß radix smiley !

 03.07.2016
 #3
avatar+14537 
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Hallo  Cediwelli ! !

 

Leider haben sich unsere Antworten überschnitten.

Ich dachte, die Frage käme von dir, doch es war schon die Antwort !

 

Gruß radix smiley !

radix  03.07.2016

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