Moin, ich soll zur Teilerfremdheit eine Aussage formulieren und komme beim letzten Teil nicht weiter.
Gesucht ist die Aussage X, die linke Seite der Äquivalenz stellt die Lösung dar, dies soll durch a|b und eine Implikation erreicht werden.
Wer kann helfen?
\(\forall a,b \in \mathbb{Z}:(ggT(a,b)=1 \Leftrightarrow a|b \Rightarrow X)\)
+3976 Spontan würde mir für die Aussage X einfallen: \(a \in \{ -1; 1\}\).
Wir zeigen, dass dann die Äquivalenz auch wirklich gilt:
Für die Rück-Richtung ( "<=" ): Wäre ggT(a, b) nicht 1, dann stimmt auch die rechte Seite nicht - das lässt sich durch ein Gegenbeispiel zeigen, beispielsweise durch a=b=2.
Für die Hin-Richtung ( "=>" ): Sei nun ggT(a, b)=1. Aus a|b folgt, dass alle Faktoren der Primfaktorzerlegung von a auch in der von b vorkommen müssen. Da der ggT zweier Zahlen das Produkt aller Primfaktoren, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen, ist, muss daher ggT(a, b)=a gelten. Da aber ggT(a, b)=1 ist, muss a schon entweder 1 oder -1 sein.
Ich hoff' das ist verständlich, wenn nicht frag' gern nochmal nach!
