Hallo zusammen,
ich benötige einmal Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
i) 2 | n2 – n
ii) 6 | n3 – n
iii) 12 | n4 – n2
+3976 Ich würd' Beweise per Induktion empfehlen. Für ii) zeig' ich's mal, vielleicht schaffst du die anderen dann direkt selbst - wenn nicht frag' nochmal nach, dann helf' ich gern mehr.
Auf zu ii):
Für n=1 ist n3-n=0, da stimmt die Aussage. Der Induktionsanfang passt also.
Man kann sich's auch noch für n=2 anschauen, dann ist n3-n=6, also stimmt die Aussage ebenfalls.
Sei nun die Aussage wahr für eine natürliche Zahl n (Induktionsvoraussetzung!).
Wir prüfen die Aussage für n+1:
(n+1)3-(n+1) = n3+3n2+3n+1-n-1 = n3+3n2+2n = n3 - n + 3n2+3n =* n3-n +3(n2-n)+6n
Im lezten Schritt schiebe ich -3n+3n ein. So ist der erste Summand n3-n durch 6 teilbar nach Induktionsvoraussetzung, der zweite Summand 3(n2-n) ist durch 6 teilbar, weil n2-n nach i) ein Vielfaches von 2 ist und 6n ist sowieso durch 6 teilbar. Wir sehen: (n+1)3-(n+1) ist Summe von drei durch 6 teilbaren Summanden und daher selbst auch durch 6 teilbar.
Der Beweis zu i) ist leichter (deswegen hab ich den auch zur Übung gelassen), bei iii) seh ich spontan nicht wie schlimm es wird, sollte aber ähnlich laufen wie hier. Ich hoff das hilft! :)
