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Hallo zusammen,

 

ich bräuchte bei folgender Aufgabe einmal etwas Hilfe:

 

Überprüfen Sie mit einigen Beispielen und beweisen Sie:
Für zwei beliebige Zahlen ist entweder ihre Summe, ihre Differenz oder mindestens eine der beiden Zahlen selbst durch 3 teilbar.
Hinweis: Welche Reste können beim Dividieren durch 3 auftreten?

 30.06.2022
 #1
avatar+3923 
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Das Überprüfen mit einingen Beispielen schaffst du sicherlich selbst. Den Beweis können wir uns gern mal anschauen:

 

Wir zeigen folgendes: Wenn nicht mindestens eine der beiden Zahlen durch 3 teilbar ist, so ist entweder die Summe oder die Differenz durch 3 teilbar.

Durch die Voraussetzung ist klar: die Zahlen (im Folgenden x und y) haben entweder die Form 3n+1 oder 3n+2. Es gibt also vier Konstellationen:

Fall 1: x=3n+1 und y=3m+1

Dann ist x-y=3n+1-(3m+1) = 3n-3m = 3(n-m) durch 3 teilbar.

Die Summe x+y=3n+1+3m+1=3(n+m)+2 ist aber nicht durch 3 teilbar.

 

Fall 2: x=3n+1 und y=3m+2

Die Differenz x-y=3(n-m)-1 ist nicht durch 3 teilbar.

Die Summe hingegen: x+y=3n+1+3m+2=3(n+m+1) ist durch 3 teilbar.

 

Wie die anderen beiden Fälle verlaufen siehst du hier bestimmt.

 

Ein Hinweis aber noch: Die Aussage ist tatsächlich nicht ganz korrekt, das "entweder" muss gestrichen werden. Sind nämlich beide Zahlen durch 3 teilbar, so ist sowohl die Summe als auch die Differenz durch 3 teilbar. Dann sind also alle 3 Teile der Aussage zutreffend, sie schließen sich also nicht aus.

 

Frag gern nochmal nach wenn noch was unklar ist! :)

 30.06.2022
bearbeitet von Probolobo  30.06.2022
 #2
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Sind dann 

 

Fall 3: x=3n+2 und y=3m+1

und

Fall 4: x=3n+2 und y=3m+2 ???

 

Bei

Fall 5:x=3n+0 und y=3m+0

ist sowohl die Summe als auch die Differenz durch 3 teilbar, korrekt?

Gast 30.06.2022
 #3
avatar+3923 
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Genau, das passt soweit!

Bei Fall 3 & 4 musst du halt noch prüfen, ob Summe oder Differenz durch 3 teilbar sind, genau wie ich bei Fall1 und Fall2, läuft ganz analog ab.

Probolobo  30.06.2022
 #4
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...und ist die Summe in Fall 2 nicht 3(n+m)+3 ???

Gast 30.06.2022
 #5
avatar+3923 
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Ja, oder halt 3(n+m+1), ist das gleiche. 

Probolobo  30.06.2022
 #6
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stimmt angel

Gast 30.06.2022
 #7
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Fall 3: x=3n+2 und y=3m+1

Die Differenz: x - y = 3⋅(n-m)+1 nicht durch 3 teilbar.

Die Summe: x + y = 3⋅(n+m)+3 ist durch 3 teilbar.

 

Fall 4: x=3n+2 und y=3m+2

Die Differenz: x - y = 3⋅(n-m) ist durch 3 teilbar.

Die Summe: x + y = 3⋅(n+m)+4 ist nicht durch 3 teilbar.

 

Korrekt?

Gast 30.06.2022
 #8
avatar+3923 
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Sieht gut aus, ja!

Probolobo  30.06.2022

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