Hallo zusammen,
ich bräuchte bei folgender Aufgabe einmal etwas Hilfe:
Überprüfen Sie mit einigen Beispielen und beweisen Sie:
Für zwei beliebige Zahlen ist entweder ihre Summe, ihre Differenz oder mindestens eine der beiden Zahlen selbst durch 3 teilbar.
Hinweis: Welche Reste können beim Dividieren durch 3 auftreten?
+3976 Das Überprüfen mit einingen Beispielen schaffst du sicherlich selbst. Den Beweis können wir uns gern mal anschauen:
Wir zeigen folgendes: Wenn nicht mindestens eine der beiden Zahlen durch 3 teilbar ist, so ist entweder die Summe oder die Differenz durch 3 teilbar.
Durch die Voraussetzung ist klar: die Zahlen (im Folgenden x und y) haben entweder die Form 3n+1 oder 3n+2. Es gibt also vier Konstellationen:
Fall 1: x=3n+1 und y=3m+1
Dann ist x-y=3n+1-(3m+1) = 3n-3m = 3(n-m) durch 3 teilbar.
Die Summe x+y=3n+1+3m+1=3(n+m)+2 ist aber nicht durch 3 teilbar.
Fall 2: x=3n+1 und y=3m+2
Die Differenz x-y=3(n-m)-1 ist nicht durch 3 teilbar.
Die Summe hingegen: x+y=3n+1+3m+2=3(n+m+1) ist durch 3 teilbar.
Wie die anderen beiden Fälle verlaufen siehst du hier bestimmt.
Ein Hinweis aber noch: Die Aussage ist tatsächlich nicht ganz korrekt, das "entweder" muss gestrichen werden. Sind nämlich beide Zahlen durch 3 teilbar, so ist sowohl die Summe als auch die Differenz durch 3 teilbar. Dann sind also alle 3 Teile der Aussage zutreffend, sie schließen sich also nicht aus.
Frag gern nochmal nach wenn noch was unklar ist! :)
Sind dann
Fall 3: x=3n+2 und y=3m+1
und
Fall 4: x=3n+2 und y=3m+2 ???
Bei
Fall 5:x=3n+0 und y=3m+0
ist sowohl die Summe als auch die Differenz durch 3 teilbar, korrekt?
+3976 Genau, das passt soweit!
Bei Fall 3 & 4 musst du halt noch prüfen, ob Summe oder Differenz durch 3 teilbar sind, genau wie ich bei Fall1 und Fall2, läuft ganz analog ab.
