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Benötige Hilfe bei dieser Aufgabe! :) (Die Zahlen sind eigentlich noch genau so wie sie dort zusehen sind in einen Kasten / Tabelle eingefügt)

 

Sie sehen hier zwei Zahlenketten, bestehend aus fünf Zahlen:
                       8      28     36     64     100
                       35     10     45     55     100


a) Welches Muster liegt diesen Zahlenketten zugrunde? Geben Sie eine geeignete (allgemeine) Formel an.
b) Finden Sie alle möglichen Zahlenketten aus fünf natürlichen Zahlen, die nach dieser Vorschrift gebildet werden und deren letzte Zahl 100 ist.
c) Wie viele Lösungen gibt es, wenn Sie auch negative Zahlen hinzunehmen dürfen?

 27.04.2021
 #1
avatar+2596 
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a) die ersten beiden Zahlen sind "frei" gewählt, danach ist jedes Kettenglied die Summe der beiden vorherigen Glieder.

Am ersten Beispiel: 8 und 28 gewählt, dann ist 36=8+28, 64 = 36+28 und 100=64+36.

 

b) Die ersten beiden Zahlen nenne ich x und y. Diese können wir ja wählen.

Danach ist das dritte Kettenglied x+y

Das vierte ist x+y+y

und das fünfte ist x+y+x+y+y = 2x+3y. Wir suchen die Folgen, deren fünftes Glied 100 ist, also die Folgen mit

 

2x+3y = 100.

 

Diese Gleichung kann umgeformt werden zu x = 50 - 1,5y. Wir können für y nur Gerade Zahlen wählen, denn mit ungeraden Zahlen ist x keine natürliche Zahl mehr.

Wir erhalten beispielsweise die Folgenanfänge 

47  2

44  4

41  6

usw. (mit y=2, 4, 6, ... alle geraden Zahlen eben.)

Der letzte Anfang, den wir so erhalten, ist 2  32. lassen wir unser y noch weiter wachsen, so wird x negativ.
Das liefert aber auch die Lösung zu c), denn wenn negative Zahlen erlaubt sind, so kann y alle geraden Zahlen als Wert annehmen. Das sind unendlch viele - es gibt also unendlich viele Lösungen.

 27.04.2021
 #2
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Aahhhh oh man grade die 1. Aufgabe ist ja wirklich einfach gewesen haha. Ich danke dir für die Antwort! :)

 27.04.2021
 #3
avatar+2596 
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Ja naja, muss einem halt auffallen - das ist schon nicht so einfach, vor allem weil's auch nicht eindeutig ist. Prinzpiell gibt's da wohl unendlich viele Möglichkeiten, etwas zu finden, was beide Folgen verbindet.

 

Man könnte beispielsweise das gleiche tun, nur dass man vor dem addieren noch den Betrag der Folgenglieder berechnet. Das liefert für positive Start-Folgenglieder genau die gleichen Folgen, aber bei negativen geht's dann kaputt. Die Antwort für die c) wäre dann: genau die gleichen Lösungen wie für b). 

 

Deswegen bin ich auch kein großer Fan solcher Aufgaben - die Eindeutigkeit der Ergebnisse ist doch grad einer der angenehmen Aspekte an der Mathematik! Und hier gibt's die leider nicht - schade.

Probolobo  27.04.2021
 #4
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Genauso sehe ich es auch und deshalb mag ich einfach Aufgaben mit konkreten Lösungen und Rechenstrategien und nicht so wie diese hier bei der ich nicht so richtig klar kam :)

 27.04.2021

21 Benutzer online

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