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\(\sqrt{15/4-2i}\)

 24.10.2016

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\sqrt{15/4-2i}

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline z &=& a+bi \qquad |z| = \sqrt{a^2+b^2} \qquad Re(z) = a \\\\ \sqrt{z} &=& \sqrt{ \frac{|z|+Re(z)}{2} }\pm i\sqrt{ \frac{|z|-Re(z)}{2} } \\ \hline \end{array} \)

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline z &=& \frac{15}{4}-2i \qquad a= Re(z)= \frac{15}{4} \qquad b = -2 \\\\ |z| &=& \sqrt{\left(\frac{15}{4} \right)^2+(-2)^2} \\ &=& \sqrt{\left(\frac{15^2}{4^2} \right)^2+4} \\ &=& \sqrt{\left(\frac{15^2}{4^2} \right)^2+4\cdot \frac{4^2}{4^2}} \\ &=& \sqrt{\frac{15^2+4^3}{4^2} }\\ &=& \frac{ \sqrt{15^2+4^3} } {4} \\ &=& \frac{ \sqrt{289} } {4} \\ \mathbf{|z|} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{17} {4}} \\\\ \sqrt{z} &=& \sqrt{ \frac{|z|+Re(z)}{2} }\pm i\sqrt{ \frac{|z|-Re(z)}{2} } \\ \sqrt{\frac{15}{4}-2i} &=& \sqrt{ \frac{\frac{17} {4}+\frac{15}{4}}{2} }\pm i\sqrt{ \frac{\frac{17} {4}-\frac{15}{4}}{2} } \\ &=& \sqrt{ \frac{\frac{17+15} {4} } {2} }\pm i \sqrt{ \frac{\frac{17-15} {4} } {2} } \\ &=& \sqrt{ \frac{\frac{32} {4} } {2} }\pm i \sqrt{ \frac{\frac{2} {4} } {2} } \\ &=& \sqrt{ \frac{ 32 } {2\cdot 4} }\pm i \sqrt{ \frac{2} {2\cdot 4} } \\ &=& \sqrt{ \frac{ 32 } {8} }\pm i \sqrt{ \frac{2} {8} } \\ &=& \sqrt{ 4 }\pm i \sqrt{ \frac{1} {4} } \\ &=& 2\pm i\cdot \frac12 \\ \hline \end{array}\)

 

\( \begin{array}{|rcll|} \hline \text{alle zweiten Wurzeln von } \frac{15}{4}-2i:\\ 2 + i\cdot \frac12 \\ 2 - i\cdot \frac12 \\ \hline \end{array} \)

 

laugh

 24.10.2016
bearbeitet von heureka  24.10.2016
 #1
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\sqrt{15/4-2i}

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline z &=& a+bi \qquad |z| = \sqrt{a^2+b^2} \qquad Re(z) = a \\\\ \sqrt{z} &=& \sqrt{ \frac{|z|+Re(z)}{2} }\pm i\sqrt{ \frac{|z|-Re(z)}{2} } \\ \hline \end{array} \)

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline z &=& \frac{15}{4}-2i \qquad a= Re(z)= \frac{15}{4} \qquad b = -2 \\\\ |z| &=& \sqrt{\left(\frac{15}{4} \right)^2+(-2)^2} \\ &=& \sqrt{\left(\frac{15^2}{4^2} \right)^2+4} \\ &=& \sqrt{\left(\frac{15^2}{4^2} \right)^2+4\cdot \frac{4^2}{4^2}} \\ &=& \sqrt{\frac{15^2+4^3}{4^2} }\\ &=& \frac{ \sqrt{15^2+4^3} } {4} \\ &=& \frac{ \sqrt{289} } {4} \\ \mathbf{|z|} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{17} {4}} \\\\ \sqrt{z} &=& \sqrt{ \frac{|z|+Re(z)}{2} }\pm i\sqrt{ \frac{|z|-Re(z)}{2} } \\ \sqrt{\frac{15}{4}-2i} &=& \sqrt{ \frac{\frac{17} {4}+\frac{15}{4}}{2} }\pm i\sqrt{ \frac{\frac{17} {4}-\frac{15}{4}}{2} } \\ &=& \sqrt{ \frac{\frac{17+15} {4} } {2} }\pm i \sqrt{ \frac{\frac{17-15} {4} } {2} } \\ &=& \sqrt{ \frac{\frac{32} {4} } {2} }\pm i \sqrt{ \frac{\frac{2} {4} } {2} } \\ &=& \sqrt{ \frac{ 32 } {2\cdot 4} }\pm i \sqrt{ \frac{2} {2\cdot 4} } \\ &=& \sqrt{ \frac{ 32 } {8} }\pm i \sqrt{ \frac{2} {8} } \\ &=& \sqrt{ 4 }\pm i \sqrt{ \frac{1} {4} } \\ &=& 2\pm i\cdot \frac12 \\ \hline \end{array}\)

 

\( \begin{array}{|rcll|} \hline \text{alle zweiten Wurzeln von } \frac{15}{4}-2i:\\ 2 + i\cdot \frac12 \\ 2 - i\cdot \frac12 \\ \hline \end{array} \)

 

laugh

heureka 24.10.2016
bearbeitet von heureka  24.10.2016
 #2
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\sqrt{15/4-2i}

 

Ohne Fehler, Sorry!

 

siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel

 

Ist \(z\) in kartesischen Koordinaten gegeben, also \( z=x+iy\) mit reellen Zahlen \(x\)  und \(y\), dann ergibt sich

für den Hauptwert der Quadratwurzel, wobei die Funktion   \(\operatorname {sgn^{+}} \) für negative \(y\) den Wert −1 und ansonsten ( also auch für \(y=0\) und damit anders als bei der Vorzeichenfunktion \( \operatorname {sgn}\) ) den Wert 1 hat:

 

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline z &=& a+bi \qquad |z| = \sqrt{a^2+b^2} \\\\ \sqrt{z} &=& \sqrt{ \frac{|z|+a}{2} }+ i\cdot \text{sgn}(b)\cdot \sqrt{ \frac{|z|-a}{2} } \\ \qquad sgn(b) &=& \text{Vorzeichen von b}\\ \hline \end{array}\)

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline z &=& \frac{15}{4}-2i \qquad a= \frac{15}{4} \qquad b = -2 \qquad sgn(b)= -1 \\\\ |z| &=& \sqrt{\left(\frac{15}{4} \right)^2+(-2)^2} \\ &=& \sqrt{\left(\frac{15^2}{4^2} \right)^2+4} \\ &=& \sqrt{\left(\frac{15^2}{4^2} \right)^2+4\cdot \frac{4^2}{4^2}} \\ &=& \sqrt{\frac{15^2+4^3}{4^2} }\\ &=& \frac{ \sqrt{15^2+4^3} } {4} \\ &=& \frac{ \sqrt{289} } {4} \\ \mathbf{|z|} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{17} {4}} \\\\ \sqrt{z} &=& \sqrt{ \frac{|z|+a}{2} }+ i\cdot \text{sgn}(b)\cdot \sqrt{ \frac{|z|-a}{2} } \\ \sqrt{\frac{15}{4}-2i} &=& \sqrt{ \frac{\frac{17} {4}+\frac{15}{4}}{2} }+ i\cdot(-1)\cdot \sqrt{ \frac{\frac{17} {4}-\frac{15}{4}}{2} } \\ &=& \sqrt{ \frac{\frac{17+15} {4} } {2} }- i \sqrt{ \frac{\frac{17-15} {4} } {2} } \\ &=& \sqrt{ \frac{\frac{32} {4} } {2} }- i \sqrt{ \frac{\frac{2} {4} } {2} } \\ &=& \sqrt{ \frac{ 32 } {2\cdot 4} }- i \sqrt{ \frac{2} {2\cdot 4} } \\ &=& \sqrt{ \frac{ 32 } {8} }- i \sqrt{ \frac{2} {8} } \\ &=& \sqrt{ 4 }- i \sqrt{ \frac{1} {4} } \\ &=& 2- i\cdot \frac12 \\ \hline \end{array} \)

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \text{alle zweiten Wurzeln von } \frac{15}{4}-2i:\\ \mathbf{w_1} &\mathbf{=}&\mathbf{ 2 - i\cdot \frac12} \\ w_2 &=& -w_1 \\ w_2 &=& -(2 - i)\cdot \frac12 \\ \mathbf{w_2} &=& \mathbf{-2 + i\cdot \frac12} \\ \hline \end{array} \)

 

blushlaugh

heureka  24.10.2016

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