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Sei X eine Menge. Zeigen Sie,

dass die Menge Sym(X) := {f : X → X | f ist bijektiv}

mit der Verkettung von Abbildungen und dem Element idX eine Gruppe bildet. Diese Gruppe nennt man die Symmetrische Gruppe auf der Menge X.

 04.12.2020
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Dafür müssen die drei Eigenschaften der Definition einer Gruppe nachgerechnet werden.

Die Verknüpfung ist assoziativ, denn es gilt\((f \circ(g \circ h) )(x) = f( (g \circ h )(x)) = f(g(h(x))) = (f \circ g) (h(x)) = ((f \circ g) \circ h )(x)\) für alle x aus X. Das neutrale Element ist die Identität, da offenbar \(f \circ id_x = id_x \circ f = f\) für alle bijektiven Abbildungen f gilt. Für die letzte Aussage brauchen wir jetzt auch die Bijektivität: Weil die Abbildungen in Sym(X) bijektiv sind, gibt es die inversen Abbildungen dazu. Da diese ebenfalls bijektiv sind, sind sie auch in Sym(X) enthalten.

 04.12.2020

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