Sei X eine Menge. Zeigen Sie,
dass die Menge Sym(X) := {f : X → X | f ist bijektiv}
mit der Verkettung von Abbildungen und dem Element idX eine Gruppe bildet. Diese Gruppe nennt man die Symmetrische Gruppe auf der Menge X.
Dafür müssen die drei Eigenschaften der Definition einer Gruppe nachgerechnet werden.
Die Verknüpfung ist assoziativ, denn es gilt\((f \circ(g \circ h) )(x) = f( (g \circ h )(x)) = f(g(h(x))) = (f \circ g) (h(x)) = ((f \circ g) \circ h )(x)\) für alle x aus X. Das neutrale Element ist die Identität, da offenbar \(f \circ id_x = id_x \circ f = f\) für alle bijektiven Abbildungen f gilt. Für die letzte Aussage brauchen wir jetzt auch die Bijektivität: Weil die Abbildungen in Sym(X) bijektiv sind, gibt es die inversen Abbildungen dazu. Da diese ebenfalls bijektiv sind, sind sie auch in Sym(X) enthalten.