Sei V ein K-Vektorraum. Zeigen oder widerlegen Sie: (i) Ein einzelner Vektor v ∈ V ist linear unabhängig genau dann, wenn v ̸= 0.
(ii) Sind v1, v2 ∈ V linear abhängig, so existiert v ∈ V mit v1, v2 ∈ ⟨v⟩.
(iii) Sind v1, v2, v3 ∈ V paarweise linear unabhängig, so auch v1, v2, v3.
(iv) Sind v1, v2 ∈ V und v2, v3 ∈ V linear abhängig, so auch v1, v3, falls v2 ̸= 0.
(v) Sind v1,...,vn ∈ V linear unabhängig, so bilden sei eine Basis von ⟨v1,...,vn⟩.
+3976 (i) Ist v ein einzelner linear abhängiger Vektor, so ist k*v=0 (Nullvektor) für ein k /=0. Gäbe es einen Eintrag vi in v, der nicht 0 ist, so stünde an entsprechender Stelle im Produkt k*vi, was nicht Null sein kann, da ein Körper nullteilerfrei ist. Daher kann es keinen Eintrag vi ungleich 0 geben, v war also schon der Nullvektor. Ist andererseits v der Nullvektor, so ist beispielsweise 1*v=0 und daher v linear abhängig.
(ii) Die Aussage ist korrekt. Ist v1=v2=0, so ist jeder Vektor aus V als v geeignet. Ist oBdA v1 /=0, so ist v=v1 eine mögliche Wahl.
(iii) Die Aussage ist falsch, man betrachte beispielsweise (1,1), (1,0) und (0,1) in R^2.
(iv) Ist wieder wahr. Wäre v1 oder v3 der Nullvektor, so wären v1 und v3 ohnehin lin. abhängig. Seien also beide nicht der Nullvektor.
Dann ist v1=k*v2 und v2=k'*v3. Also ist v1=k*k'v3, somit sind auch v1 und v3 linear abhängig.
(v) Ist wahr, denn v1, ...vn sind linear unabhängig und erzeugen ihren Spann.
