Sei n ∈ N, v 1 , v 2 ∈ R n , v 2 0 und λ, µ ∈ R. Zeigen Sie, dass v 1 Rv 2 genau dann wenn aus λv 1 + µv 2 = 0, λ = µ = 0 folgt

Das ist eine Beweisaufgabe, zu erkennen an "zeigen Sie".

An den Worten "genau dann, wenn" erkennen wir: Eine Äquivalenz ist zu zeigen, also: Aus der linken Aussage folgt die rechte & aus der rechten folgt die linke.

Ich fang' mal an mit:

$v_1 \notin \mathbb{R}v_2 \Rightarrow (\lambda v_1 + \mu v_2 =0 \Rightarrow \lambda=\mu=0)$

Da v₁ nicht in Rv₂ ist ist v₁ nicht der Nullvektor. Ist λ nicht 0, so können wir folgendes tun:

$\lambda v_1 + \mu v_2 =0 \ \ \ |-\mu v_2 \\ \lambda v_1 =- \mu v_2 \ \ | :\lambda \\ v_1 = \frac{-\mu}{\lambda} v_2$

Also ist v₁ doch in Rv₂ - ein Widerspruch! Daher muss λ=0 sein. Das vereinfacht unsere Gleichung zu

$\mu v_2 =0$

Da v₂ nicht der Nullvektor ist, muss automatisch auch µ=0 sein. Also folgt  λ = µ = 0 aus λv₁ + µv₂ = 0.

Jetzt andersrum:

$v_1 \notin \mathbb{R}v_2 \Leftarrow (\lambda v_1 + \mu v_2 =0 \Rightarrow \lambda=\mu=0)$

Das zeige ich durch Widerspruch: Angenommen, trotz unserer Voraussetzung (rechte Aussage) wäre v₁ in Rv₂. Dann gäbe es ein x mit v₁=xv₂. Unsere Gleichung wird damit zu

$\lambda xv_2 + \mu v2 = 0 \\ (\lambda x + \mu)v_2 = 0$

Und da v₂ nicht der Nullvektor ist, muss λx + µ = 0 sein. Ist x=0, so ist λ frei wählbar & λ = µ = 0 ist nicht die einzige Lösung. Ist x nicht 0, so erfüllen alle λ & µ mit λx = -µ die Gleichung - hier ist auch zB. λ frei wählbar & µ folgt entsprechend. Also ist auch hier nicht λ = µ = 0 die einzige Lösung. Ein Widerspruch zu unserer Annahme.

Ich hoff' das ist verständlich, wenn nicht frag' ruhig nochmal nach.