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Sei n ∈ N, v1, v2 ∈ Rn , v2 \( \neq \) 0 und λ, µ ∈ R. Zeigen Sie, dass v1 \(\not\in\) Rv2 genau dann wenn aus λv1 + µv2 = 0, λ = µ = 0 folgt

 

Hallo,

ist das hier eine Beweisaufgabe? Wenn ja wie soll man das beweisen?

 08.12.2021
 #1
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Das ist eine Beweisaufgabe, zu erkennen an "zeigen Sie".

An den Worten "genau dann, wenn" erkennen wir: Eine Äquivalenz ist zu zeigen, also: Aus der linken Aussage folgt die rechte & aus der rechten folgt die linke.

Ich fang' mal an mit:

\(v_1 \notin \mathbb{R}v_2 \Rightarrow (\lambda v_1 + \mu v_2 =0 \Rightarrow \lambda=\mu=0)\)

Da v1 nicht in Rv2 ist ist v1 nicht der Nullvektor. Ist λ nicht 0, so können wir folgendes tun:

\(\lambda v_1 + \mu v_2 =0 \ \ \ |-\mu v_2 \\ \lambda v_1 =- \mu v_2 \ \ | :\lambda \\ v_1 = \frac{-\mu}{\lambda} v_2\)

Also ist v1 doch in Rv2 - ein Widerspruch! Daher muss λ=0 sein. Das vereinfacht unsere Gleichung zu

\(\mu v_2 =0\)

Da v2 nicht der Nullvektor ist, muss automatisch auch µ=0 sein. Also folgt  λ = µ = 0 aus λv1 + µv2 = 0.

 

Jetzt andersrum:

\(v_1 \notin \mathbb{R}v_2 \Leftarrow (\lambda v_1 + \mu v_2 =0 \Rightarrow \lambda=\mu=0)\)

Das zeige ich durch Widerspruch: Angenommen, trotz unserer Voraussetzung (rechte Aussage) wäre v1 in Rv2. Dann gäbe es ein x mit v1=xv2. Unsere Gleichung wird damit zu

\(\lambda xv_2 + \mu v2 = 0 \\ (\lambda x + \mu)v_2 = 0\)

Und da v2 nicht der Nullvektor ist, muss λx + µ = 0 sein. Ist x=0, so ist λ frei wählbar & λ = µ = 0 ist nicht die einzige Lösung. Ist x nicht 0, so erfüllen alle λ & µ mit λx = -µ die Gleichung - hier ist auch zB. λ frei wählbar & µ folgt entsprechend. Also ist auch hier nicht λ = µ = 0 die einzige Lösung. Ein Widerspruch zu unserer Annahme.

 

Ich hoff' das ist verständlich, wenn nicht frag' ruhig nochmal nach.

 08.12.2021

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