Sei a eine Folge, die folgendermaßen rekursiv definiert ist:
a1 = 2
an+1 = 2 − 1/an
Zeigen Sie mittels vollst. Induktion: an = (n+1)/ n .
Sei a eine Folge, die folgendermaßen rekursiv definiert ist:
a1 = 2
an+1 = 2 − 1/an
Zeigen Sie mittels vollst. Induktion: an = (n+1)/ n .
an+1:=2−1ana1=2 Vermutung an=n+1nn∈N
Induktionsanfang:
n=1a1=1+11=2 ✓
Induktionsvoraussetzung:
an=n+1nn∈N
Induktionsschritt: n→n+1
an+1=2−1anIV=2−1n+1n=2−nn+1=2⋅(n+1)−nn+1=(n+1)+(n+1)−n(n+1)=(n+1)+1(n+1)
an=n+1n oder an+1=(n+1)+1(n+1)