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Ich weiss das ist jetzt viel, aber ich brauche die Lösungen zu diesen Aufgaben, sonst weiss ich nicht ob ichs richtig mache.

Die Aufgabe lautet:

 

Die Pulsfrequenz eines Läufers wird durch p(t)= 80+120t*e^-0,5t beschrieben, wobei t die Zeit in Minuten ist.

 

a) Welchen Puls hat der Läufer nach einer Minute?

b) Wann erreicht der Puls seinen höchsten Wert?

c) Wie groß ist die Änderungsrate des Pulses zum Zeitpunkt t= 3

d) Wann verrringert sich der Puls am stärksten?

e) Wann sinkt der Puls wieder auf den Wert von 100 Schlägen/min? (GTR erforderlich)

 

Vielen Dank schonmal!!

 11.05.2021
 #1
avatar+12422 
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Die Pulsfrequenz eines Läufers wird durch p(t)= 80+120t*e^(-0,5t) beschrieben, wobei t die Zeit in Minuten ist.

a) Welchen Puls hat der Läufer nach einer Minute?

b) Wann erreicht der Puls seinen höchsten Wert?

c) Wie groß ist die Änderungsrate des Pulses zum Zeitpunkt t= 3

d) Wann verrringert sich der Puls am stärksten?

e) Wann sinkt der Puls wieder auf den Wert von 100 Schlägen/min?

 

Hallo Gast!

 

Zum Beantworten der fünf Fragen brauchen wir die Funktionsgleichung der Pulsfrequenz und deren erste und zweite Ableitung.

\(Pulsfrequenz-Funktion:\\ p(t)= 80+120(t\cdot e^{-0,5t}) \)

                              u    v         ( für die Produktregel)\(\color{blue}\)

\(Erste\ Ableitung:\\ \frac{d}{dt}[p(t)]=\\ p'(t) =0+120(u'v+uv') \ |\ \color{blue}Produktregel\)    \(u'=1\ |\ v'={\color{green}e^{-0,5t}\cdot (-0,5)\cdot 1}=-\dfrac{e^{-0,5}}{2}\ |\ \color{green}Kettenregel\ y'=f'(u)g'(v)h'(x) \)   

\(p'(t)=0+120(1\cdot e^{-0,5t}+t\cdot (-\frac{e^{-0,5}}{2}))\\ p'(t)=120e^{-0,5t}(1- 0,5t)\\ \color{blue}p'(t)=120 e^{-0,5t}-60te^{-0,5t}\)

                                        u v   ( für die Produktregel)\(\color{blue}\)

\(Zweite\ Ableitung:\\ \frac{d^2}{dt^2}[p(t)]=\\ p''(t)=120\cdot (-\frac{e^{-0,5t}}{2})-60\cdot(u'v+uv')\ |\ Produktregel\\ p''(t)=-60\cdot e^{0,5t}-60\cdot(1\cdot e^{-0,5t}+t\cdot 0,5\cdot e^{-0,5t})\\ p''(t)=-60\cdot e^{0,5t}-60\cdot e^{-0,5t}-30te^{-0,5t}\\ \color{blue}p''(t)=e^{-0,5t}\cdot (120-30t)\)

 

a) Welchen Puls hat der Läufer nach einer Minute?

\( p(t)= 80+120(t\cdot e^{-0,5t}) \\ p(t)= 80+120(1\cdot e^{-0,5\cdot 1}) \)

\(p(t)=152,8\ min^{-1}\)

 

b) Wann erreicht der Puls seinen höchsten Wert?

Setzen wir die erste Ableitung gleich Null, ist t die Variante für ein Extremum.

\(120 e^{-0,5t}-60te^{-0,5t}=0\\ 120-60t=0\\ \color{blue}t=2\ min\)

Der Puls des Läufers erreicht seinen höchsten Wert nach 2 Minuten.

Der höchste Wert ist

\(p(t)= 80+120(2\cdot e^{-0,5\cdot 2}) =\color{blue}168,3\ min^{-1}\)

 

c) Wie groß ist die Änderungsrate des Pulses zum Zeitpunkt t = 3 ?

\(Erste\ Ableitung\\ p'(t)=120 e^{-0,5t}-60te^{-0,5t}\\ p'(t)=120\cdot e^{-0,5\cdot 3}-60\cdot 3\cdot e^{-0,5\cdot 3}\\ p'(t)={\color{blue}12,4\ min^{-2}}\)

Zwischen Minute 2,5 und Minute 3,5 sinkt der Puls des Läufers um 12,4 Schläge.

 

d) Wann verrringert sich der Puls am stärksten?

Setzen wir die zweite Ableitung gleich Null, ist t die Variante für ein Extremum der Änderungsrate.

\(Zweite Ableitung\)

\(p''(t)=e^{-0,5t}\cdot (120-30t)=0\\ 120-30t=0\\ 30t=120\\ \color{blue}t=4\ min\)

An dieser Stelle hat die Änderungsrate (\(Erste\ Ableitung\)) ihr Minimum.

\(Erste\ Ableitung\\ p'(t)=120\cdot e^{-0,5t}-60\cdot te^{-0,5t}\\ p'(4)=120 \cdot e^{-0,5\cdot 4}-60\cdot 4\cdot e^{-0,5\cdot 4}\\ \color{blue}p'(4)=-16,2\)

Der Läufer verringert in der Zeit von Minute 3,5 bis Minute 4,5 seine Herzfrequenz um 16,2 \(min^{-1}\).

 

Part e) kommt trotzdem dran (Probolobo möge mir verzeihen).

e) Wann sinkt der Puls wieder auf den Wert von 100 Schlägen/min?

\(p(t)= 80+120t\cdot e^{-0,5t}=100 \)

Da ich leider keine Grafik ins Bild bringen kann, muss es die Wertetabelle tun.

t [\(min\)]       |         7,5            7,653        7,7

f [\(min^{-1}\)]   |     101,166    100,0071    99,662

 

Der Läufer hat 7 min 39 sek nach dem Start kurzzeitig einen Puls von 100 pro Minute.

Der Puls sinkt dann noch ab auf einen Grenzwert von 80 pro Minute.

laugh  !

 12.05.2021
bearbeitet von asinus  12.05.2021
bearbeitet von asinus  13.05.2021
bearbeitet von asinus  13.05.2021
bearbeitet von asinus  13.05.2021
bearbeitet von asinus  14.05.2021
 #2
avatar+2594 
+1

Ich übernehm' den einfachen Part! :D

Für e) suchen wir nur den zweiten t-Wert, bei dem die Funktion p(t) den Wert 100 annimmt.

Wir lösen also die Gleichung p(t)=100. Offenbar soll das mit einem speziellen Rechner gemacht werden, daher ist nicht wirklich viel zu tun außer die Gleichung in den Rechner einzutippen. Ich hab's mal wolframalpha machen lassen:

 

 

Der Gesuchte Wert ist dann t=7,7min.

Probolobo  13.05.2021
 #3
avatar+12422 
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Probolobo, deine Grafik wurde blockiert. Ich bin nicht daran beteiligt. Weiß jemand den Grund für diese unnütze Maßnahme?angry

10 Minuten später ist sie jetzt wieder vorhanden.

laugh  !

asinus  14.05.2021
bearbeitet von asinus  14.05.2021
bearbeitet von asinus  16.05.2021
 #4
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Ich weiß nur das die Admins: CPhill, Melody, Alan und Admin sind, villeicht haben sie es ausversehen gemacht oder stimmt was in der Grafik nicht?!

Mathefreaker2021  15.05.2021
 #5
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Probolobo* wird so geschrieben

Mathefreaker2021  15.05.2021
 #6
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So ist es besser! Bearbeitet wo ich geschlaen habe !coollaughwink

Mathefreaker2021  16.05.2021

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