Sachaufgabe zu E-Funktion

Die Pulsfrequenz eines Läufers wird durch p(t)= 80+120t*e^(-0,5t) beschrieben, wobei t die Zeit in Minuten ist.

a) Welchen Puls hat der Läufer nach einer Minute?

b) Wann erreicht der Puls seinen höchsten Wert?

c) Wie groß ist die Änderungsrate des Pulses zum Zeitpunkt t= 3

d) Wann verrringert sich der Puls am stärksten?

e) Wann sinkt der Puls wieder auf den Wert von 100 Schlägen/min?

Hallo Gast!

Zum Beantworten der fünf Fragen brauchen wir die Funktionsgleichung der Pulsfrequenz und deren erste und zweite Ableitung.

\(Pulsfrequenz-Funktion:\\ p(t)= 80+120(t\cdot e^{-0,5t}) \)

                              u    v         ( für die Produktregel)\(\color{blue}\)

\(Erste\ Ableitung:\\ \frac{d}{dt}[p(t)]=\\ p'(t) =0+120(u'v+uv') \ |\ \color{blue}Produktregel\)    \(u'=1\ |\ v'={\color{green}e^{-0,5t}\cdot (-0,5)\cdot 1}=-\dfrac{e^{-0,5}}{2}\ |\ \color{green}Kettenregel\ y'=f'(u)g'(v)h'(x) \)   

\(p'(t)=0+120(1\cdot e^{-0,5t}+t\cdot (-\frac{e^{-0,5}}{2}))\\ p'(t)=120e^{-0,5t}(1- 0,5t)\\ \color{blue}p'(t)=120 e^{-0,5t}-60te^{-0,5t}\)

                                        u v   ( für die Produktregel)\(\color{blue}\)

\(Zweite\ Ableitung:\\ \frac{d^2}{dt^2}[p(t)]=\\ p''(t)=120\cdot (-\frac{e^{-0,5t}}{2})-60\cdot(u'v+uv')\ |\ Produktregel\\ p''(t)=-60\cdot e^{0,5t}-60\cdot(1\cdot e^{-0,5t}+t\cdot 0,5\cdot e^{-0,5t})\\ p''(t)=-60\cdot e^{0,5t}-60\cdot e^{-0,5t}-30te^{-0,5t}\\ \color{blue}p''(t)=e^{-0,5t}\cdot (120-30t)\)

a) Welchen Puls hat der Läufer nach einer Minute?

\( p(t)= 80+120(t\cdot e^{-0,5t}) \\ p(t)= 80+120(1\cdot e^{-0,5\cdot 1}) \)

\(p(t)=152,8\ min^{-1}\)

b) Wann erreicht der Puls seinen höchsten Wert?

Setzen wir die erste Ableitung gleich Null, ist t die Variante für ein Extremum.

\(120 e^{-0,5t}-60te^{-0,5t}=0\\ 120-60t=0\\ \color{blue}t=2\ min\)

Der Puls des Läufers erreicht seinen höchsten Wert nach 2 Minuten.

Der höchste Wert ist

\(p(t)= 80+120(2\cdot e^{-0,5\cdot 2}) =\color{blue}168,3\ min^{-1}\)

c) Wie groß ist die Änderungsrate des Pulses zum Zeitpunkt t = 3 ?

\(Erste\ Ableitung\\ p'(t)=120 e^{-0,5t}-60te^{-0,5t}\\ p'(t)=120\cdot e^{-0,5\cdot 3}-60\cdot 3\cdot e^{-0,5\cdot 3}\\ p'(t)={\color{blue}12,4\ min^{-2}}\)

Zwischen Minute 2,5 und Minute 3,5 sinkt der Puls des Läufers um 12,4 Schläge.

d) Wann verrringert sich der Puls am stärksten?

Setzen wir die zweite Ableitung gleich Null, ist t die Variante für ein Extremum der Änderungsrate.

\(Zweite Ableitung\)

\(p''(t)=e^{-0,5t}\cdot (120-30t)=0\\ 120-30t=0\\ 30t=120\\ \color{blue}t=4\ min\)

An dieser Stelle hat die Änderungsrate (\(Erste\ Ableitung\)) ihr Minimum.

\(Erste\ Ableitung\\ p'(t)=120\cdot e^{-0,5t}-60\cdot te^{-0,5t}\\ p'(4)=120 \cdot e^{-0,5\cdot 4}-60\cdot 4\cdot e^{-0,5\cdot 4}\\ \color{blue}p'(4)=-16,2\)

Der Läufer verringert in der Zeit von Minute 3,5 bis Minute 4,5 seine Herzfrequenz um 16,2 \(min^{-1}\).

Part e) kommt trotzdem dran (Probolobo möge mir verzeihen).

e) Wann sinkt der Puls wieder auf den Wert von 100 Schlägen/min?

\(p(t)= 80+120t\cdot e^{-0,5t}=100 \)

Da ich leider keine Grafik ins Bild bringen kann, muss es die Wertetabelle tun.

t [\(min\)]       |         7,5            7,653        7,7

f [\(min^{-1}\)]   |     101,166    100,0071    99,662

Der Läufer hat 7 min 39 sek nach dem Start kurzzeitig einen Puls von 100 pro Minute.

Der Puls sinkt dann noch ab auf einen Grenzwert von 80 pro Minute.

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