Rekursive und Explizite Formel bei Punktmuster angeben

Klar - wir schauen uns zunächst an, was in jedem Schritt dazukommt, und versuchen, das irgendwie in Abhängigkeit von n (Nummer des Folgenglieds) darzustellen.

Erstmal: Was kommt eigentlich dazu?

War vermutlich schon klar, aber hier haben wir's nochmal rot auf weiss. Nun stellt sich die Frage: Wie hängt das mit dem Index n zusammen?

Im Folgenden soll das erste Folgenglied a₀ sein, also a₀ = 2, a₁ = 9 usw.

Ich unterteile mir jetzt den Zuwachs irgendwie, wie's mir intuitiv sinnvoll erscheint - nach Seiten nämlich. Ich hab auch das mal im Bild festgehalten:

Man sieht: von a₂ nach a₃ wächst jede dieser Seiten um 1. (Auch in den vorherigen Schritten ist das so!) Außerdem erkennt man: Die grün markierten Seiten sind n+1 lang, die roten genau n. Im Vergleich zu a_n ist das Folgenglied a_n+1 also um 2(n+1) +3n größer.

Damit ergibt sich folgende Rekursionsformel:

a_n+1 = a_n +2(n+1)+3n

Aus dieser Formel ergibt sich auch eine explizite Formel für jedes Folgenglied: wir rechnen einfach ab n=0 jeden Zuwachs bis zu einem Index n zusammen!

Das sieht mit Summenschreibweise etwa so aus:

$a_n = \sum_{k=0}^n ( 2(k+1)+3k) = \\ \sum_{k=0}^n (5k+2) = \\ \sum_{k=0}^n 5k + \sum_{k=0}^n 2 = \\ 5\cdot \sum_{k=0}^n k +2(n+1) =^* \\ 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 2(n+1) = \\ 2,5n^2+2,5n +2n +2 = \\ 2,5n^2+4,5n+2$

Beim * habe ich die Gauß'sche Summenformel benutzt (gibts ausführlich bei Wikipedia falls du die noch nicht kennst).

Unsere explizite Formel ist also

a_n = 2,5n²+4,5n+2.