+941 Betrachte die Folge von Funktionen (fn) definiert für alle reellen Zahlen x als:
\(f_n(x) = \begin{cases} x & \text{wenn} \quad x \in \left[ \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n} \right] \ n(x - 1) & \text{wenn} \quad x \in \left(1 - \frac{1}{n}, 1 \right) \ -nx & \text{wenn} \quad x \in \left[0, \frac{1}{n} \right) \end{cases}\)
Zeigen Sie, dass die Folge von Funktionen (fn) pointweise gegen eine bestimmte Funktion F(x) konvergiert und bestimmen Sie die Funktion F(x).
+15000 Hallo Mathefreak, ich muss was nachfragen:
1. \(Ist\ [\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]\ die\ Menge\ aller\ x\ der\ Funktion\ f_n(x)?\)
2. Was bedeutet n(x-1)?
3. Welche Bedeutung hat die offene Klammer { nach dem = ?
Freue mich, wenn du die Aufgabe noch ein wenig erklärst.
!
+941 Um die Funktion F(x) zu bestimmen, müssen wir die Funktionswerte für jedes x berechnen und limitieren. Da für jede reelle Zahl x gilt:
\(f_0(x) = x^2 f_1(x) = x^2 + x/2 f_2(x) = x^2 + x/2 + x^2/6 f_3(x) = x^2 + x/2 + x^2/6 + x^3/24\)
usw.
Können wir sehen, dass jede Funktion f_n(x) eine Polynomfunktion von Grad n ist. Da die Funktionen immer höheren Grads sind, kann die Folge (fn) als eine Potenzreihe dargestellt werden:
\(f_n(x) = x^2 + x/2 + x^2/6 + ... + x^n/(n!)\).
Die Potenzreihe kann auch als exponentialfunktion dargestellt werden:
\(f_n(x) = e^x - 1 - x\).
Da jede Potenzreihe für jedes x konvergiert, muss auch die Funktion f_n(x) für jedes x gegen eine bestimmte Funktion konvergieren. Daher ist die gesuchte Funktion F(x) gleich:
\(F(x) = e^x - 1\).
