+941 Betrachte die Folge von Funktionen (fn) definiert für alle reellen Zahlen x als:
fn(x)={xwennx∈[1n,1−1n] n(x−1)wennx∈(1−1n,1) −nxwennx∈[0,1n)
Zeigen Sie, dass die Folge von Funktionen (fn) pointweise gegen eine bestimmte Funktion F(x) konvergiert und bestimmen Sie die Funktion F(x).
+15077 Hallo Mathefreak, ich muss was nachfragen:
1. Ist [1n,1−1n] die Menge aller x der Funktion fn(x)?
2. Was bedeutet n(x-1)?
3. Welche Bedeutung hat die offene Klammer { nach dem = ?
Freue mich, wenn du die Aufgabe noch ein wenig erklärst.
!
+941 Um die Funktion F(x) zu bestimmen, müssen wir die Funktionswerte für jedes x berechnen und limitieren. Da für jede reelle Zahl x gilt:
f0(x)=x2f1(x)=x2+x/2f2(x)=x2+x/2+x2/6f3(x)=x2+x/2+x2/6+x3/24
usw.
Können wir sehen, dass jede Funktion f_n(x) eine Polynomfunktion von Grad n ist. Da die Funktionen immer höheren Grads sind, kann die Folge (fn) als eine Potenzreihe dargestellt werden:
fn(x)=x2+x/2+x2/6+...+xn/(n!).
Die Potenzreihe kann auch als exponentialfunktion dargestellt werden:
fn(x)=ex−1−x.
Da jede Potenzreihe für jedes x konvergiert, muss auch die Funktion f_n(x) für jedes x gegen eine bestimmte Funktion konvergieren. Daher ist die gesuchte Funktion F(x) gleich:
F(x)=ex−1.
