Rechenregeln für Logarithmusfunktionen durch Rechenregeln für Potenzen zeigen

Der erste Schritt für jede Rechenregel ist es, beide Seiten als e-Exponent zu schreiben. Da können wir dann die Potenzgesetze (PG) benutzen und die Gleichung so umformen, dass sie auf jeden Fall stimmt. Ich nutze auch öfters mal, dass immer e^ln(X) = X gilt.

$ln(ab)=ln(a)+ ln(b) \ \ \ | e^. \\ e^{ln(ab)} = e^{ln(a)+ln(b)} \ \ \ |PG \\ ab = e^{ln(a)} \cdot e^{ln(b)} \\ \\ ab = a \cdot b$

In der letzten Zeile sehen wir also, dass die Gleichung stimmt!

Das gleiche machen wir nun für die anderen Regeln:

$ln(a^b) = b \cdot ln(a) \ \ \ |e^. \\ e^{ln(a^b)} = e^{b \cdot ln(a)} \ \ \ |PG \\ a^b = (e^{ln(a)})^b \\ a^b =a^b$

$ln(\frac{1}{c}) = -ln(c) \ \ | e^. \\ e^{ln(\frac{1}{c})} = e^{-ln(c)} \ \ |PG \\ \frac{1}{c} = \frac{1}{e^{ln(c)}} \\ \frac{1}{c} = \frac{1}{c}$

Wir haben also jeweils durch Äquivalenzumformungen die Regeln in eine Gleichung umformen können, die wahr ist. Daher sind auch die Regeln gültig.