+14913 Hallo anonymous!
px+qy=a py+qz=b pz+qx=c
Es sind drei Gleichungen mit den drei Unbekannten x, y und z gegeben.
Wir suchen drei Terme, die den drei Unbekannten gleich sind.
Es sind drei lineare Gleichungen. Die drei Unbekannten können mit Hilfe der Verfahren
Additions-, Substitutions- und Gleichsetzungsverfahren
ermittelt werden.
Gleichsetzungsverfahren:
px+qy=a
x = (a - qy) / p
pz+qx=c
x = (c - pz) / q
(a - qy) / p = (c - pz) / q
py+qz=b
z = (b - py) / q
(a - qy) / p = (c - pz) / q
c - pz = q * (a - qy) / p
pz = c - q * (a - qy) / p
z = (c - q * (a - qy) / p) / p
Die beiden z = Terme gleichsetzen und nach y auflösen.
y = ... Das kannst du leicht selbst machen. Mir ist es zu spät dafür.
Einsetzungsverfahren:
Dann y in die Gleichung
x = (a - qy) / p
einsetzen und ausrechnen.
Dann y in die Gleichung
z = (c - q * (a - qy) / p) / p
einsetzen und ausrechnen.
Carl Friedrich Gauß hätte das mit seinem Gauß-Allgorithmus gerechnet.
Dieser Allgorithmus ist bei unserem Problem mindestens genau so aufwendig.
Den Lösungsweg findest du unter
http://www.mathebibel.de/gauss-algorithmus
Eine gute Nacht wünscht :- )
+12528 
+26367 Gauß-Algorithmus
$$\small{\text{$
\begin{array}{lrclclclrl}
(1)& px & + & qy &+& 0 &=&a\\
(2)& 0 & + & py &+& qz &=&b\\
(3)& qx & + & 0 &+& pz &=&c&\qquad|&\cdot-\dfrac{p}{q}\\
\\
\hline
\\
(1)& px & + & qy &+& 0 &=&a\\
(2)& 0 & + & py &+& qz &=&b\\
(3)& -px & + & 0 &-& \dfrac{p^2}{q}\cdot z &=&-c\cdot\dfrac{p}{q}\\
\\
\hline
\\
(1) & px & + & qy &+& 0 &=&a\\
(2) & 0 & + & py &+& qz &=&b\\
(1)+(3)=(3)& 0 & + & qy &-& \dfrac{p^2}{q}\cdot z &=&a-c\cdot\dfrac{p}{q}&|&\cdot-\dfrac{p}{q}\\
\\
\hline
\\
(1)& px & + & qy &+& 0 &=&a\\
(2)& 0 & + & py &+& qz &=&b\\
(3)& 0 & - & py &+& \dfrac{p^3}{q^2}\cdot z &=&(a-c\cdot\dfrac{p}{q})(-\dfrac{p}{q})\\
\\
\hline
\\
(1)& px & + & qy &+& 0 &=&a\\
(2)& 0 & + & py &+& qz &=&b\\
(2)+(3)=(3)& 0 & + & 0 &+& qz + \dfrac{p^3}{q^2}\cdot z &=&b-\dfrac{p}{q}(a-c\cdot\dfrac{p}{q})\\
\\
\hline
\\
(1)& px & + & qy &+& 0 &=&a\\
(2)& 0 & + & py &+& qz &=&b\\
(3)& 0 & + & 0 &+& (q+\dfrac{p^3}{q^2})\cdot z &=&b-\dfrac{p}{q}\cdot a +\cdot\dfrac{p^2}{q^2}\cdot c\\
\end{array}
$}}$$
$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
z &=& \dfrac{ b-\dfrac{p}{q}\cdot a +\dfrac{p^2}{q^2}\cdot c } {q+\dfrac{p^3}{q^2}}\\\\
\mathbf{z} & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{ q^2b-pqa+p^2c } { q^3+p^3 }}\\\\\\
py+qz &=& b \\
py &=& b - qz \\
\mathbf{y} & \mathbf{=} & \mathbf{ \dfrac{b-qz}{p}} \\\\\\
px+qy &=& a \\
px &=& a -qy\\
\mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{a-qy}{p}}
\end{array}
$}}$$
