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Bitte zeigen Sie mir den Lösungsweg dieses Systems!

 14.07.2015

Beste Antwort 

 #2
avatar+12514 
+9

Wer erhält so eine Aufgabe? - Studenten? Welche Fachrichtung? Welches Semester? Oder ist es ein mathematisch begabter User, der uns testen bzw. beschäftigen möchte????

 

 14.07.2015
 #1
avatar+13581 
+8

Hallo anonymous!

 

px+qy=a   py+qz=b   pz+qx=c

 

Es sind drei Gleichungen mit den drei Unbekannten x, y und z gegeben.

Wir suchen drei Terme, die den drei Unbekannten gleich sind.

Es sind drei lineare Gleichungen. Die drei Unbekannten können mit Hilfe der Verfahren

 

Additions-, Substitutions- und Gleichsetzungsverfahren

 

ermittelt werden.

 

Gleichsetzungsverfahren:

 

px+qy=a

x = (a - qy) / p

 

pz+qx=c

x = (c - pz) / q

 

(a - qy) / p = (c - pz) / q

 

py+qz=b

z = (b - py) / q

 

(a - qy) / p = (c - pz) / q

c - pz = q * (a - qy) / p

pz = c - q * (a - qy) / p

z = (c - q * (a - qy) / p) / p

 

Die  beiden z = Terme gleichsetzen und nach y auflösen.

y = ...  Das kannst du leicht selbst machen. Mir ist es zu spät dafür.

 

Einsetzungsverfahren:

 

Dann y in die Gleichung

x = (a - qy) / p 

einsetzen und ausrechnen.

Dann y in die Gleichung

z = (c - q * (a - qy) / p) / p

einsetzen und ausrechnen.

 

Carl Friedrich Gauß hätte das mit seinem Gauß-Allgorithmus gerechnet.

Dieser Allgorithmus ist bei unserem Problem mindestens genau so aufwendig.

Den Lösungsweg findest du unter

http://www.mathebibel.de/gauss-algorithmus

 

 

Eine gute Nacht wünscht   :- )

 14.07.2015
 #2
avatar+12514 
+9
Beste Antwort

Wer erhält so eine Aufgabe? - Studenten? Welche Fachrichtung? Welches Semester? Oder ist es ein mathematisch begabter User, der uns testen bzw. beschäftigen möchte????

 

Omi67 14.07.2015
 #3
avatar+26269 
+8

Gauß-Algorithmus

 

$$\small{\text{$
\begin{array}{lrclclclrl}
(1)& px & + & qy &+& 0 &=&a\\
(2)& 0 & + & py &+& qz &=&b\\
(3)& qx & + & 0 &+& pz &=&c&\qquad|&\cdot-\dfrac{p}{q}\\
\\
\hline
\\
(1)& px & + & qy &+& 0 &=&a\\
(2)& 0 & + & py &+& qz &=&b\\
(3)& -px & + & 0 &-& \dfrac{p^2}{q}\cdot z &=&-c\cdot\dfrac{p}{q}\\
\\
\hline
\\
(1) & px & + & qy &+& 0 &=&a\\
(2) & 0 & + & py &+& qz &=&b\\
(1)+(3)=(3)& 0 & + & qy &-& \dfrac{p^2}{q}\cdot z &=&a-c\cdot\dfrac{p}{q}&|&\cdot-\dfrac{p}{q}\\
\\
\hline
\\
(1)& px & + & qy &+& 0 &=&a\\
(2)& 0 & + & py &+& qz &=&b\\
(3)& 0 & - & py &+& \dfrac{p^3}{q^2}\cdot z &=&(a-c\cdot\dfrac{p}{q})(-\dfrac{p}{q})\\
\\
\hline
\\
(1)& px & + & qy &+& 0 &=&a\\
(2)& 0 & + & py &+& qz &=&b\\
(2)+(3)=(3)& 0 & + & 0 &+& qz + \dfrac{p^3}{q^2}\cdot z &=&b-\dfrac{p}{q}(a-c\cdot\dfrac{p}{q})\\
\\
\hline
\\
(1)& px & + & qy &+& 0 &=&a\\
(2)& 0 & + & py &+& qz &=&b\\
(3)& 0 & + & 0 &+& (q+\dfrac{p^3}{q^2})\cdot z &=&b-\dfrac{p}{q}\cdot a +\cdot\dfrac{p^2}{q^2}\cdot c\\
\end{array}
$}}$$

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
z &=& \dfrac{ b-\dfrac{p}{q}\cdot a +\dfrac{p^2}{q^2}\cdot c } {q+\dfrac{p^3}{q^2}}\\\\
\mathbf{z} & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{ q^2b-pqa+p^2c } { q^3+p^3 }}\\\\\\
py+qz &=& b \\
py &=& b - qz \\
\mathbf{y} & \mathbf{=} & \mathbf{ \dfrac{b-qz}{p}} \\\\\\
px+qy &=& a \\
px &=& a -qy\\
\mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{a-qy}{p}}
\end{array}
$}}$$

 

 15.07.2015

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