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Vereinfachen Sie die folgenden Terme mit nachvollziehbaren Umformungen und führen Sie für die Teilaufgaben a) und b) eine Plausibilitätskontrolle mit a=3, b=2 und z= \(\frac{1}{7}\) durch!

 

 

a) \(\frac{4a^2}{9b^2}^{1/2}\)

 

 

b)\(\frac{49z^2-1}{7z-1}\)

 

 

c) \(\sqrt[4]{625a^3\sqrt[3]{4^6\sqrt{a^4}}}\)

 11.10.2015

Beste Antwort 

 #3
avatar+26256 
+14

Vereinfachen Sie die folgenden Terme mit nachvollziehbaren Umformungen

 

a)

\(\begin{array}{rcl} \left( \dfrac{4a^2}{9b^2} \right)^{\frac{1}{2} } \\ &=&\sqrt{ \dfrac{4a^2}{9b^2} }\\ &=&\sqrt{ \dfrac{2^2a^2}{3^2b^2} }\\ &=&\dfrac{2a}{3b}\\\\ \left( \dfrac{4a^2}{9b^2} \right)^{\frac{1}{2} }&=&\dfrac{2a}{3b} \end{array}\)

 

 

b)

\(\begin{array}{rcl} \dfrac{ 49z^2-1 }{ 7z-1 } \\ &=&\dfrac{ 7^2z^2-1 }{ 7z-1 } \\\\ &=&\dfrac{ (7z)^2-1 }{ 7z-1 } \qquad | \qquad \text{3. Binom} \quad [(7z)^2-1] = (7z-1)(7z+1)\\\\ &=&\dfrac{ (7z-1)(7z+1)}{ (7z-1) } \\\\ &=& 7z+1\\\\ \dfrac{ 49z^2-1 }{ 7z-1 }&=& 7z+1\\ \end{array}\)

 

c)

\(\begin{array}{rcl} \sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6\sqrt{a^4}}}\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6a^{ \frac{4}{2} }}}\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6a^2}}\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3 \cdot 4^{ \frac{6}{3} }a^{ \frac{2}{3} }}\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3 \cdot 4^2a^{ \frac{2}{3} }} \qquad | \qquad 4^2 = (2^2)^2 = 2^4\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3 \cdot 2^4a^{ \frac{2}{3} }} \qquad | \qquad 625 = 5^4\\ &=& \sqrt[4]{ 5^4 a^3 \cdot 2^4a^{ \frac{2}{3} } } \\ &=& \sqrt[4]{ 5^4 \cdot 2^4 a^3 a^{ \frac{2}{3} } } \\ &=& \sqrt[4]{ 5^4 \cdot 2^4 a^{ 3+\frac{2}{3} } } \\ &=& \sqrt[4]{ 5^4 \cdot 2^4 a^{ \frac{11}{3} } } \\ &=& 5^\frac{4}{4} \cdot 2^\frac{4}{4} a^{ \frac{11}{3\cdot4} } \\ &=& 5 \cdot 2 a^{ \frac{11}{12} } \\ &=& 10 a^{ \frac{11}{12} } \\ \mathbf{\sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6\sqrt{a^4}}} }& \mathbf{=} & \mathbf{ 10 a^{ \frac{11}{12} } }\\ \mathbf{\sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6\sqrt{a^4}}} }& \mathbf{=} & \mathbf{ 10 \sqrt[12] { a^{11} } }\\ \end{array}\)

 

laugh

 12.10.2015
 #1
avatar+14538 
0

Guten Morgen!

 

a)   \( \sqrt(\frac{4a^2}{9b^2})=\frac{2a}{3b}\)

 

b)  \(48x^2-1=(7x+1)*(7x-1)\)     ( 3. Binom !! )  dann  durch   (7x-1)  kürzen

 

  Ergebnis:   =  \(7x+1\)

 

c)  Schreibe die Wurzeln  als  Brüche:   ( ich habe Schreibschwierigkeiten!)

 

Endergebnis  = \(10a*\sqrt[3]{a}\)      ( wenn ich mich nicht verschrieben habe !)

Gruß radix smiley !

 12.10.2015
 #2
avatar+14538 
0

Hallo,

 

ich habe mich bei dem letzten Ergebnis vertan, ich glaube, die richtige Lösung für c ) ist dies:

 

c)  = \(10*\sqrt[3]{a^2}\)

 

Gruß radix smiley !

 12.10.2015
 #3
avatar+26256 
+14
Beste Antwort

Vereinfachen Sie die folgenden Terme mit nachvollziehbaren Umformungen

 

a)

\(\begin{array}{rcl} \left( \dfrac{4a^2}{9b^2} \right)^{\frac{1}{2} } \\ &=&\sqrt{ \dfrac{4a^2}{9b^2} }\\ &=&\sqrt{ \dfrac{2^2a^2}{3^2b^2} }\\ &=&\dfrac{2a}{3b}\\\\ \left( \dfrac{4a^2}{9b^2} \right)^{\frac{1}{2} }&=&\dfrac{2a}{3b} \end{array}\)

 

 

b)

\(\begin{array}{rcl} \dfrac{ 49z^2-1 }{ 7z-1 } \\ &=&\dfrac{ 7^2z^2-1 }{ 7z-1 } \\\\ &=&\dfrac{ (7z)^2-1 }{ 7z-1 } \qquad | \qquad \text{3. Binom} \quad [(7z)^2-1] = (7z-1)(7z+1)\\\\ &=&\dfrac{ (7z-1)(7z+1)}{ (7z-1) } \\\\ &=& 7z+1\\\\ \dfrac{ 49z^2-1 }{ 7z-1 }&=& 7z+1\\ \end{array}\)

 

c)

\(\begin{array}{rcl} \sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6\sqrt{a^4}}}\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6a^{ \frac{4}{2} }}}\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6a^2}}\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3 \cdot 4^{ \frac{6}{3} }a^{ \frac{2}{3} }}\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3 \cdot 4^2a^{ \frac{2}{3} }} \qquad | \qquad 4^2 = (2^2)^2 = 2^4\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3 \cdot 2^4a^{ \frac{2}{3} }} \qquad | \qquad 625 = 5^4\\ &=& \sqrt[4]{ 5^4 a^3 \cdot 2^4a^{ \frac{2}{3} } } \\ &=& \sqrt[4]{ 5^4 \cdot 2^4 a^3 a^{ \frac{2}{3} } } \\ &=& \sqrt[4]{ 5^4 \cdot 2^4 a^{ 3+\frac{2}{3} } } \\ &=& \sqrt[4]{ 5^4 \cdot 2^4 a^{ \frac{11}{3} } } \\ &=& 5^\frac{4}{4} \cdot 2^\frac{4}{4} a^{ \frac{11}{3\cdot4} } \\ &=& 5 \cdot 2 a^{ \frac{11}{12} } \\ &=& 10 a^{ \frac{11}{12} } \\ \mathbf{\sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6\sqrt{a^4}}} }& \mathbf{=} & \mathbf{ 10 a^{ \frac{11}{12} } }\\ \mathbf{\sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6\sqrt{a^4}}} }& \mathbf{=} & \mathbf{ 10 \sqrt[12] { a^{11} } }\\ \end{array}\)

 

laugh

heureka 12.10.2015
 #4
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0

Hallo Gast, Hallo  heureka,

 

ich habe mal wieder meinen Fehler in der Aufgabe  c)  gefunden.

Heureka liegt wie immer mit seinem Ergebnis richtig !

 

Statt   \(625*a^3\)  hatte ich   \(625*a^2\)  gelesen. Meine Augen lassen wohl merklich nach !

 

Gruß radix smiley !

 12.10.2015

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