Potenz ausklammern

Ich konnte mittlerweile die erste Aufgabe ausrechnen: (2x^3+x^4)

Wie muss ich aber bei den anderen Aufgaben rechnen?

\(x^2 \cdot (2x + x^2) \\ (x^2y - xy^{-1}) \cdot x^{-1}y \\ (2x^{n-1} + 2x^{n+1} - 2x^{n}) \cdot 2x^{1-n} \\ (25a^{m-1} + 24a^{m-t}) : 7a^{m} \\\)

1.

\(\begin{array}{rcll} x^2 \cdot (2x + x^2) &=& x^2 \cdot 2x + x^2 \cdot x^2 \\ &=& 2x^3 + x^4 \\ \end{array}\)

2.

\(\begin{array}{rcll} (x^2y - xy^{-1}) \cdot x^{-1}y &=& x^2y \cdot x^{-1}y - xy^{-1} \cdot x^{-1}y \\ &=& x^{2-1}y^2 - x^{1-1}y^{1-1} \\ &=& x^{1}y^2 - x^{0}y^{0} \qquad & \qquad x^0 = 1 \qquad y^0 = 1\\ &=& xy^2 - 1\\ \end{array}\)

3.

\(\begin{array}{rcll} (2x^{n-1} + 2x^{n+1} - 2x^{n}) \cdot 2x^{1-n} &=& 2x^{n-1}\cdot 2x^{1-n} + 2x^{n+1}\cdot 2x^{1-n} - 2x^{n} \cdot 2x^{1-n}\\ &=& 2\cdot 2\cdot x^{n-1+1-n} + 2\cdot 2\cdot x^{n+1+1-n} - 2\cdot 2\cdot x^{n+1-n}\\ &=& 4\cdot x^{0} + 4\cdot x^{2} - 4\cdot x^{1} \qquad & \qquad x^0 = 1 \\ &=& 4\cdot 1 + 4\cdot x^{2} - 4\cdot x^1 \\ &=& 4 + 4\cdot x^{2} - 4\cdot x \\ &=& 4\cdot( x^{2} - x + 1) \\ \end{array}\)

4.

\(\begin{array}{rcll} \dfrac{25a^{m-1} + 24a^{m-t}} { 7a^{m} } &=& \dfrac{25a^{m-1}}{ 7a^{m} } + \dfrac{24a^{m-t}} { 7a^{m} }\\\\ &=& \dfrac{25}{7} \cdot \dfrac{a^{m-1}}{ a^{m} } + \dfrac{24}{7} \cdot \dfrac{a^{m-t}} { a^{m} }\\\\ &=& \dfrac{25}{7} \cdot a^{m-1-m} + \dfrac{24}{7} \cdot a^{m-t-m}\\\\ &=& \dfrac{25}{7} \cdot a^{-1} + \dfrac{24}{7} \cdot a^{-t} \\\\ &=& \dfrac{25}{7a} + \dfrac{24}{7a^t}\\\\ &=& \dfrac17 \cdot \left( \dfrac{25}{a} + \dfrac{24}{a^t} \right) \end{array}\)

heureka du bist ein genie!