Partialbruchzerlegung

Diesen Term durch Partialbruchzerlegung vereinfachen.

Bitte mit Rechenweg.

x^2+3x-4 / (x-4)*(x-2)^3

Guten Morgen Carl !

$\large \frac{x^2+3x-4}{(x-4)\cdot (x-2)^3}=\ ?$

Ermitteln der Nullstellen des Zählers:

$x^2+3x-4=0\\ x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\\ x=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{3^2}{4}+4}=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=-\frac{3}{2}\pm \frac{5}{2}\\ \color{blue}x_1=1\\ \color{blue}x_2=-4$

$x^2+3x-4=(x-x_1)\cdot (x-x_2)\\ \color{blue}x^2+3x-4=(x-1)\cdot (x+4)$

$\LARGE \frac{x^2+3x-4}{(x-4)\cdot (x-2)^3}=\frac{(x-1)\cdot (x+4)}{(x-4)\cdot (x-2)^3}$

Mehr geht m.E. nicht.

  !

Kann mir jemand helfen , wie ich diesen Term durch Partialbruchzerlegung vereinfache?
Bitte mit Rechenweg
$\displaystyle \dfrac{x^2+3x-4} { (x-4)*(x-2)^3 }$

$\small{ \begin{array}{|lrcll|} \hline & \dfrac{x^2+3x-4} { (x-4)(x-2)^3 } &=& \dfrac{A}{x-4} + \dfrac{B}{x-2}+ \dfrac{C}{(x-2)^2}+ \dfrac{D}{(x-2)^3} \quad | \quad \cdot (x-4)(x-2)^3 \\\\ & x^2+3x-4 &=& A(x-2)^3 + B(x-4)*(x-2)^2+ C(x-4)*(x-2) \\ &&& + D(x-4) \\\\ x=2 & 2^2+3\cdot 2-4 &=& A(2-2)^3 + B(2-4)*(2-2)^2+ C(2-4)*(2-2) \\ &&& + D(2-4) \\ & 6 &=& A\cdot 0 + B\cdot 0+ C\cdot 0 -2D \\ & 2D &=& -6 \\ & \mathbf{ D } & \mathbf{=} & \mathbf{-3} \\\\ x=4 & 4^2+3\cdot 4-4 &=& A(4-2)^3 + B(4-4)*(4-2)^2+ C(4-4)*(4-2) \\ &&& + D(4-4) \\ &24 &=& 8A+B\cdot 0 + C\cdot 0 +D\cdot 0 \\ & 8A &=& 24 \\ & \mathbf{ A } & \mathbf{=} & \mathbf{3} \\\\ x=1 & 1^2+3-4 &=& A(1-2)^3 + B(1-4)*(1-2)^2+ C(1-4)*(1-2) \\ &&& + D(1-4) \\ & 0 &=& -A-3B+3C-3D \quad | \quad A = 3, \quad D=-3\\ & 0 &=& -3-3B+3C-3(-3) \\ & 0 &=& -3-3B+3C+9 \quad | \quad : 3 \\ & 0 &=& -1-B+C+3 \\ & B &=& -1+C+3 \\ & \mathbf{ B } & \mathbf{=} & \mathbf{C+2} \\\\ x=-1 & (-1)^2+3\cdot(-1)-4 &=& A(-1-2)^3 + B(-1-4)*(-1-2)^2+ C(-1-4)*(-1-2) \\ &&& + D(-1-4) \\ & -6 &=& A(-3)^3 + B(-5)*(-3)^2+ C(-5)*(-3) + D(-5) \\ & -6 &=& -27A -45B+ 15C + -5D \quad | \quad A = 3, \quad D=-3\\ & -6 &=& -27\cdot 3 -45B+ 15C -5\cdot(-3) \\ & -6 &=& -27\cdot 3 -45B+ 15C+ 15 \quad | \quad B=C+2 \\ & -6 &=& -27\cdot 3 -45(C+2)+ 15C+ 15 \quad | \quad :3 \\ & -2 &=& -27-15(C+2)+ 5C+ 5 \\ & -2 &=& -27-15C-30+ 5C+ 5 \\ & -2 &=& -27-10C-30+ 5 \\ & 10C &=& 2 -27 -30+ 5 \\ & 10C &=& -50 \\ & \mathbf{ C } & \mathbf{=} & \mathbf{-5} \\\\ & B &=& C+2 \\ & B &=& -5+2 \\ & \mathbf{ C } & \mathbf{=} & \mathbf{-3} \\\\ & \mathbf{\dfrac{x^2+3x-4} { (x-4)*(x-2)^3 }} &\mathbf{=}& \mathbf{ \dfrac{3}{x-4} - \dfrac{3}{x-2}- \dfrac{5}{(x-2)^2}- \dfrac{3}{(x-2)^3} } \\ \hline \end{array} }$

Vielen herzlichen Dank asinus und heureka für die Lösung :D

Ich hätte noch eine Frage an heureka , wie kommst du auf die +1 und -1 , die du für x einsetzt ?

Die +4 und +2 kann ich nachvollziehen :)

Liebe Grüße !

Achso :D dankeschön