+26393 kann mir jemand bei den nullstellen zu \(f(x)=x^2+ln(x^2)\) helfen?
Mit der Lambertschen W-Funktion (Omegafunktion) könnte man sofort auf das Ergebnis schließen.
W(x) ist eine inverse Funktion zu\( f(x) = xe^x .\)
\(xe^x = y\) hat damit die Lösung \( x=W(y).\)
Ansonsten bleiben nur die Iterationsmethoden.
Beispiel Lambertsche W-Funktion:
Wir ersetzen \(x^2\) mit \(u\) und erhalten \(y = u+\ln{(u)} = 0\).
oder
\(\begin{array}{rcll} u &=& -\ln{(u)} \\ u &=& 0-\ln{(u)} \qquad &| \qquad \ln{(1)} = 0 \\ u &=& \ln{1}-\ln(u) \qquad &| \qquad \ln{(1)}-\ln{(u)} = \ln{(\frac{1}{u})} \\ u &=& \ln{(\frac{1}{u})}\qquad &| \qquad e^{()} \\ e^u &=& e^{\ln{(\frac{1}{u})} } \\ e^u &=& \frac{1}{u} \\ u\cdot e^u &=& 1 \\ \end{array}\)
Wir können jetzt die Lambertsche W-Funktion anwenden. \(u=W(1)\)
\(W(1) \) ist aber gerade die Omega-Konstante\(\small{ \begin{array}{l} \Omega = 0.5671432904097838729999686622103555497538157871865125081351310792230457930866\dots \end{array} }\)
und erhalten als Ergebnis für \(x=\pm\sqrt{\Omega}\)
Die zwei Nullstellen lauten also:
\(x_1 = 0.7530891649796748157965833628063502497431317507325243408136858446\dots\)
und
\(x_2 = -0.7530891649796748157965833628063502497431317507325243408136858446\dots\)
+14538 Guten Tag lieber Gast,
hier der Graph deiner Funktion f(x) = x² + ln (x) mit der Wertetabelle,
Die Nullstellen liegen bei \(x_{1,2}=\pm0,75308916497...\)
Heureka wird dir sicher die Berechnung liefern.
Gruß radix 
!
+14538 SORRY, ich hatte ein Quadrat vergessen !!
Deine Funktion heißt natürlich \(f(x)=x^2+ln(x^2) \)
Gruß radix !
+26393 kann mir jemand bei den nullstellen zu \(f(x)=x^2+ln(x^2)\) helfen?
Mit der Lambertschen W-Funktion (Omegafunktion) könnte man sofort auf das Ergebnis schließen.
W(x) ist eine inverse Funktion zu\( f(x) = xe^x .\)
\(xe^x = y\) hat damit die Lösung \( x=W(y).\)
Ansonsten bleiben nur die Iterationsmethoden.
Beispiel Lambertsche W-Funktion:
Wir ersetzen \(x^2\) mit \(u\) und erhalten \(y = u+\ln{(u)} = 0\).
oder
\(\begin{array}{rcll} u &=& -\ln{(u)} \\ u &=& 0-\ln{(u)} \qquad &| \qquad \ln{(1)} = 0 \\ u &=& \ln{1}-\ln(u) \qquad &| \qquad \ln{(1)}-\ln{(u)} = \ln{(\frac{1}{u})} \\ u &=& \ln{(\frac{1}{u})}\qquad &| \qquad e^{()} \\ e^u &=& e^{\ln{(\frac{1}{u})} } \\ e^u &=& \frac{1}{u} \\ u\cdot e^u &=& 1 \\ \end{array}\)
Wir können jetzt die Lambertsche W-Funktion anwenden. \(u=W(1)\)
\(W(1) \) ist aber gerade die Omega-Konstante\(\small{ \begin{array}{l} \Omega = 0.5671432904097838729999686622103555497538157871865125081351310792230457930866\dots \end{array} }\)
und erhalten als Ergebnis für \(x=\pm\sqrt{\Omega}\)
Die zwei Nullstellen lauten also:
\(x_1 = 0.7530891649796748157965833628063502497431317507325243408136858446\dots\)
und
\(x_2 = -0.7530891649796748157965833628063502497431317507325243408136858446\dots\)
