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kann mir jemand bei den nullstellen zu

 

f(x)=x2+ln(x2)

 

helfen?

 22.01.2016

Beste Antwort 

 #3
avatar+25640 
+10

kann mir jemand bei den nullstellen zu  \(f(x)=x^2+ln(x^2)\)  helfen?

 

Mit der Lambertschen W-Funktion (Omegafunktion) könnte man sofort auf das Ergebnis schließen.

W(x) ist eine inverse Funktion zu\( f(x) = xe^x .\)
\(xe^x = y\) hat damit die Lösung \( x=W(y).\)

Ansonsten bleiben nur die Iterationsmethoden.

 

Beispiel Lambertsche W-Funktion:

Wir ersetzen \(x^2\) mit \(u\) und erhalten \(y = u+\ln{(u)} = 0\).

oder

\(\begin{array}{rcll} u &=& -\ln{(u)} \\ u &=& 0-\ln{(u)} \qquad &| \qquad \ln{(1)} = 0 \\ u &=& \ln{1}-\ln(u) \qquad &| \qquad \ln{(1)}-\ln{(u)} = \ln{(\frac{1}{u})} \\ u &=& \ln{(\frac{1}{u})}\qquad &| \qquad e^{()} \\ e^u &=& e^{\ln{(\frac{1}{u})} } \\ e^u &=& \frac{1}{u} \\ u\cdot e^u &=& 1 \\ \end{array}\)

 

Wir können jetzt die Lambertsche W-Funktion anwenden. \(u=W(1)\)

\(W(1) \) ist aber gerade die  Omega-Konstante\(\small{ \begin{array}{l} \Omega = 0.5671432904097838729999686622103555497538157871865125081351310792230457930866\dots \end{array} }\)

und erhalten als Ergebnis für \(x=\pm\sqrt{\Omega}\)

 

Die zwei Nullstellen lauten also:

\(x_1 = 0.7530891649796748157965833628063502497431317507325243408136858446\dots\)

und

\(x_2 = -0.7530891649796748157965833628063502497431317507325243408136858446\dots\)

 

laugh

 22.01.2016
 #1
avatar+14537 
0

Guten Tag lieber Gast,

hier der Graph deiner Funktion   f(x) = x² + ln (x)     mit der Wertetabelle,

Die Nullstellen liegen  bei     \(x_{1,2}=\pm0,75308916497...\)

 

Heureka wird dir sicher die Berechnung liefern.

 

Gruß radix smiley !

 

 

 22.01.2016
 #2
avatar+14537 
0

SORRY, ich hatte ein Quadrat vergessen !!

 

Deine Funktion heißt natürlich      \(f(x)=x^2+ln(x^2) \)

 

Gruß radix smiley !

 22.01.2016
 #3
avatar+25640 
+10
Beste Antwort

kann mir jemand bei den nullstellen zu  \(f(x)=x^2+ln(x^2)\)  helfen?

 

Mit der Lambertschen W-Funktion (Omegafunktion) könnte man sofort auf das Ergebnis schließen.

W(x) ist eine inverse Funktion zu\( f(x) = xe^x .\)
\(xe^x = y\) hat damit die Lösung \( x=W(y).\)

Ansonsten bleiben nur die Iterationsmethoden.

 

Beispiel Lambertsche W-Funktion:

Wir ersetzen \(x^2\) mit \(u\) und erhalten \(y = u+\ln{(u)} = 0\).

oder

\(\begin{array}{rcll} u &=& -\ln{(u)} \\ u &=& 0-\ln{(u)} \qquad &| \qquad \ln{(1)} = 0 \\ u &=& \ln{1}-\ln(u) \qquad &| \qquad \ln{(1)}-\ln{(u)} = \ln{(\frac{1}{u})} \\ u &=& \ln{(\frac{1}{u})}\qquad &| \qquad e^{()} \\ e^u &=& e^{\ln{(\frac{1}{u})} } \\ e^u &=& \frac{1}{u} \\ u\cdot e^u &=& 1 \\ \end{array}\)

 

Wir können jetzt die Lambertsche W-Funktion anwenden. \(u=W(1)\)

\(W(1) \) ist aber gerade die  Omega-Konstante\(\small{ \begin{array}{l} \Omega = 0.5671432904097838729999686622103555497538157871865125081351310792230457930866\dots \end{array} }\)

und erhalten als Ergebnis für \(x=\pm\sqrt{\Omega}\)

 

Die zwei Nullstellen lauten also:

\(x_1 = 0.7530891649796748157965833628063502497431317507325243408136858446\dots\)

und

\(x_2 = -0.7530891649796748157965833628063502497431317507325243408136858446\dots\)

 

laugh

heureka 22.01.2016

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