nullstellenberechnung

kann mir jemand bei den nullstellen zu  $f(x)=x^2+ln(x^2)$  helfen?

Mit der Lambertschen W-Funktion (Omegafunktion) könnte man sofort auf das Ergebnis schließen.

W(x) ist eine inverse Funktion zu$f(x) = xe^x .$
$xe^x = y$ hat damit die Lösung $x=W(y).$

Ansonsten bleiben nur die Iterationsmethoden.

Beispiel Lambertsche W-Funktion:

Wir ersetzen $x^2$ mit $u$ und erhalten $y = u+\ln{(u)} = 0$.

oder

$\begin{array}{rcll} u &=& -\ln{(u)} \\ u &=& 0-\ln{(u)} \qquad &| \qquad \ln{(1)} = 0 \\ u &=& \ln{1}-\ln(u) \qquad &| \qquad \ln{(1)}-\ln{(u)} = \ln{(\frac{1}{u})} \\ u &=& \ln{(\frac{1}{u})}\qquad &| \qquad e^{()} \\ e^u &=& e^{\ln{(\frac{1}{u})} } \\ e^u &=& \frac{1}{u} \\ u\cdot e^u &=& 1 \\ \end{array}$

Wir können jetzt die Lambertsche W-Funktion anwenden. $u=W(1)$

$W(1)$ ist aber gerade die  Omega-Konstante$\small{ \begin{array}{l} \Omega = 0.5671432904097838729999686622103555497538157871865125081351310792230457930866\dots \end{array} }$

und erhalten als Ergebnis für $x=\pm\sqrt{\Omega}$

Die zwei Nullstellen lauten also:

$x_1 = 0.7530891649796748157965833628063502497431317507325243408136858446\dots$

und

$x_2 = -0.7530891649796748157965833628063502497431317507325243408136858446\dots$

Guten Tag lieber Gast,

hier der Graph deiner Funktion   f(x) = x² + ln (x)     mit der Wertetabelle,

Die Nullstellen liegen  bei     $x_{1,2}=\pm0,75308916497...$

Heureka wird dir sicher die Berechnung liefern.

Gruß radix !

SORRY, ich hatte ein Quadrat vergessen !!

Deine Funktion heißt natürlich      $f(x)=x^2+ln(x^2)$

Gruß radix !