Hallo,
wie berechne ich die Nullstellen im Intervall [-π;2π] der Funktion f(x)=sin(x) + 0,5 bzw. allgemein f(x) = sin(x) + b? Ich komme da nicht weiter. Vielen Dank. Benni
Ich fang mal mit den Rechenregeln an, die wir gleich brauchen:
(1) sin(α)=sin(−α)(2) sin(α)=sin(α+k⋅2π) ( (2) für jede ganze Zahl k)
Wir suchen alle x mit
sin(x) +0,5 = 0 |-0,5
sin(x) = -0,5 | sin-1( . ) (manchmal heisst der auch arcsin, aber auf meinem Taschenrechner halt sin-1)
sin-1(-0,5) = x
Den Wert find' ich am Taschenrechner: x1=−16π.
Den zweiten Wert erzeuge ich mit Regel (1): x2=−x1=−(−16π)=16π.
Jetzt nutze ich Regel (2): Zu den ersten beiden x-Werten kann man beliebig oft 2π dazuzählen oder abziehen. Dafür einfach so lang "am k rumspielen" bis man aus dem Zielbereich (hier [-π;2π]) rutscht:
Mit x1:
x3=x1+2π=−16π+2π=116π
Ist im Intervall, passt.
x4=x1+4π=236π>2π
Ist nicht im Intervall, also vergessen wir es. So viel zu positiven k-Werten, weiter geht's mit negativen:
x4=x1−2π=−136π
Ist auch nicht im Intervall, also ist auch dieses x4 nicht zulässig. Wir haben also alle x-Werte aus x1 gewonnen. Das gleiche nun mit x2 :
x4=x2+2π=16π+2π=136π
Das ist schon zu groß, also vergessen wir es wieder und machen weiter mit negativen k-Werten:
x4=x2−2π=−116π
Das ist auch zu klein ("zu negativ"), daher gibt's auch hier nichts mehr zu finden. Mit den bisher gefundenden Werten für x1, x2 und x3 haben wir dann alle.