Nullstellen

Ich fang mal mit den Rechenregeln an, die wir gleich brauchen:

 

$(1) \ \ sin(\alpha) = sin(-\alpha) \\ (2) \ \ sin(\alpha) = sin(\alpha +k \cdot 2\pi)$     ( (2) für jede ganze Zahl k)

 

Wir suchen alle x mit 

 

sin(x) +0,5 = 0   |-0,5

sin(x) = -0,5    | sin^-1( . )    (manchmal heisst der auch arcsin, aber auf meinem Taschenrechner halt sin^-1)

sin^-1(-0,5) = x

 

Den Wert find' ich am Taschenrechner: $x_1 = - \frac{1}{6}\pi$.

Den zweiten Wert erzeuge ich mit Regel (1): $x_2 = -x_1 = -(-\frac{1}{6}\pi) = \frac{1}{6}\pi$.

Jetzt nutze ich Regel (2): Zu den ersten beiden x-Werten kann man beliebig oft 2π dazuzählen oder abziehen. Dafür einfach so lang "am k rumspielen" bis man aus dem Zielbereich (hier  [-π;2π]) rutscht:

 

Mit x₁:

$x_3 = x_1 +2\pi = -\frac{1}{6}\pi +2\pi = \frac{11}{6}\pi \\$

Ist im Intervall, passt.

$x_4 = x_1 +4\pi = \frac{23}{6}\pi >2\pi$ 

Ist nicht im Intervall, also vergessen wir es. So viel zu positiven k-Werten, weiter geht's mit negativen:

$x_4 = x_1 -2\pi = -\frac{13}{6}\pi$

Ist auch nicht im Intervall, also ist auch dieses x₄ nicht zulässig. Wir haben also alle x-Werte aus x₁ gewonnen. Das gleiche nun mit x₂ :

$x_4 = x_2 +2\pi = \frac{1}{6} \pi +2\pi = \frac{13}{6}\pi$

Das ist schon zu groß, also vergessen wir es wieder und machen weiter mit negativen k-Werten:

$x_4 = x_2-2\pi = \frac{-11}{6}\pi$

Das ist auch zu klein ("zu negativ"), daher gibt's auch hier nichts mehr zu finden. Mit den bisher gefundenden Werten für x₁, x₂ und x₃ haben wir dann alle.