Hallo,
wie berechne ich die Nullstellen im Intervall [-π;2π] der Funktion f(x)=sin(x) + 0,5 bzw. allgemein f(x) = sin(x) + b? Ich komme da nicht weiter. Vielen Dank. Benni
+3976 Ich fang mal mit den Rechenregeln an, die wir gleich brauchen:
\((1) \ \ sin(\alpha) = sin(-\alpha) \\ (2) \ \ sin(\alpha) = sin(\alpha +k \cdot 2\pi)\) ( (2) für jede ganze Zahl k)
Wir suchen alle x mit
sin(x) +0,5 = 0 |-0,5
sin(x) = -0,5 | sin-1( . ) (manchmal heisst der auch arcsin, aber auf meinem Taschenrechner halt sin-1)
sin-1(-0,5) = x
Den Wert find' ich am Taschenrechner: \(x_1 = - \frac{1}{6}\pi\).
Den zweiten Wert erzeuge ich mit Regel (1): \(x_2 = -x_1 = -(-\frac{1}{6}\pi) = \frac{1}{6}\pi\).
Jetzt nutze ich Regel (2): Zu den ersten beiden x-Werten kann man beliebig oft 2π dazuzählen oder abziehen. Dafür einfach so lang "am k rumspielen" bis man aus dem Zielbereich (hier [-π;2π]) rutscht:
Mit x1:
\(x_3 = x_1 +2\pi = -\frac{1}{6}\pi +2\pi = \frac{11}{6}\pi \\\)
Ist im Intervall, passt.
\(x_4 = x_1 +4\pi = \frac{23}{6}\pi >2\pi\)
Ist nicht im Intervall, also vergessen wir es. So viel zu positiven k-Werten, weiter geht's mit negativen:
\(x_4 = x_1 -2\pi = -\frac{13}{6}\pi\)
Ist auch nicht im Intervall, also ist auch dieses x4 nicht zulässig. Wir haben also alle x-Werte aus x1 gewonnen. Das gleiche nun mit x2 :
\(x_4 = x_2 +2\pi = \frac{1}{6} \pi +2\pi = \frac{13}{6}\pi\)
Das ist schon zu groß, also vergessen wir es wieder und machen weiter mit negativen k-Werten:
\(x_4 = x_2-2\pi = \frac{-11}{6}\pi\)
Das ist auch zu klein ("zu negativ"), daher gibt's auch hier nichts mehr zu finden. Mit den bisher gefundenden Werten für x1, x2 und x3 haben wir dann alle.
