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Hallo, 

wie berechne ich die Nullstellen im Intervall [-π;2π] der Funktion f(x)=sin(x) + 0,5 bzw. allgemein f(x) = sin(x) + b? Ich komme da nicht weiter. Vielen Dank.  Benni

 02.03.2021
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Ich fang mal mit den Rechenregeln an, die wir gleich brauchen:

 

\((1) \ \ sin(\alpha) = sin(-\alpha) \\ (2) \ \ sin(\alpha) = sin(\alpha +k \cdot 2\pi)\)     ( (2) für jede ganze Zahl k)

 

Wir suchen alle x mit 

 

sin(x) +0,5 = 0   |-0,5

sin(x) = -0,5    | sin-1( . )    (manchmal heisst der auch arcsin, aber auf meinem Taschenrechner halt sin-1)

sin-1(-0,5) = x

 

Den Wert find' ich am Taschenrechner: \(x_1 = - \frac{1}{6}\pi\).

Den zweiten Wert erzeuge ich mit Regel (1): \(x_2 = -x_1 = -(-\frac{1}{6}\pi) = \frac{1}{6}\pi\).

Jetzt nutze ich Regel (2): Zu den ersten beiden x-Werten kann man beliebig oft 2π dazuzählen oder abziehen. Dafür einfach so lang "am k rumspielen" bis man aus dem Zielbereich (hier  [-π;2π]) rutscht:

 

Mit x1:

\(x_3 = x_1 +2\pi = -\frac{1}{6}\pi +2\pi = \frac{11}{6}\pi \\\)

Ist im Intervall, passt.

\(x_4 = x_1 +4\pi = \frac{23}{6}\pi >2\pi\) 

Ist nicht im Intervall, also vergessen wir es. So viel zu positiven k-Werten, weiter geht's mit negativen:

\(x_4 = x_1 -2\pi = -\frac{13}{6}\pi\)

Ist auch nicht im Intervall, also ist auch dieses x4 nicht zulässig. Wir haben also alle x-Werte aus x1 gewonnen. Das gleiche nun mit x2 :

\(x_4 = x_2 +2\pi = \frac{1}{6} \pi +2\pi = \frac{13}{6}\pi\)

Das ist schon zu groß, also vergessen wir es wieder und machen weiter mit negativen k-Werten:

\(x_4 = x_2-2\pi = \frac{-11}{6}\pi\)

Das ist auch zu klein ("zu negativ"), daher gibt's auch hier nichts mehr zu finden. Mit den bisher gefundenden Werten für x1, x2 und x3 haben wir dann alle.

 02.03.2021

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