nullstellen von x+3+ln(x+3)

Ich habe Newton bemüht.

Hallo Anonymous,

leider kann ich dir momentan nur mit dem Graphen der Funktion  f(x) = x+3+ln(x+3)

und der Nullstelle  ( -2,43286 / 0 ) dienen.

Gruß radix !

Hallo anonymous,

x +3 + ln(x + 3) = 0        [Ersetzen: x + 3 = z

z + ln z = 0

z = - ln z

      z = 0,56  0,57  0,566  0,5675 0,5670  0,5672 0,5671 0,56715  0,56714   0,567143

- ln z = 0,58 0,562 0,569  0,5665 0,5674  0,5670 0,5672  0,56713 0,567149  0,567144

(Startwert geschätzt.  z mit Taschenrechner ermittelt durch probieren und anpassen. Einfach, schnell und beliebig genau.)

z = 0,567143

Probe:

0,567143 ≈ -ln(0,567143)

0,567143 ≈ 0,567144

x = z - 3 =0,567143 - 3

x = -2,432857..

Probe:

-2,432857 + 3 + ln (3 - 2,432857) ≈ 0     (= 0,000 000 802)

Gruß asinus :- )

Ich schaetze, du solltest die Aufgabe mit dem Newton- oder Intervallhalbierungsverfahren lösen.

Probe:

$${\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{2.432\: \!856\: \!7}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{3}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{ln}{\left({\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{2.432\: \!856\: \!7}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{3}}\right)} = {\mathtt{0.000\: \!000\: \!026\: \!499\: \!904}}$$

Nullstellen von x+3+ln(x+3)

siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktiteration

Wir setzen z= x+3

Die Gleichung muss  zuerst in eine Fixpunktgleichung, also in eine Gleichung der Form

$$z= \varphi(z)$$

umgeformt werden.

$$\\ z + \ln(z) = 0 \\
z= -\ln(z) \quad | \quad e^{()} \\
e^z = e^{ -\ln(z)} \\\\
e^z = \dfrac{1} { e^{ \ln(z)} }\\\\
e^z = \dfrac{1} { z } \\\\
z = \dfrac{1} { e^z } \\$$

und erhalten die Gleichung:

$$\boxed{z = \dfrac{1} { e^z } \small{\text{ mit } x = z-3}} \\
\small{\text{
Die Iterationsformel lautet nun:
$
z_{i+1} = \dfrac{1} { e^{z_i} }
$
}}$$

Wir starten die Iteration mit

$$\small{
$
z_0 = 1 \quad ( x = z_0-3 = 1-3 = -2)\\\\
z_1 = \dfrac{1}{e^1} = 0.36787944117 \\
z_2 = \dfrac{1}{e^{0.36787944117 } } =0.69220062756\\
z_3 = \dfrac{1}{e^{0.69220062756} } =0.50047350056\\
z_4 = \dfrac{1}{e^{0.50047350056} } =0.60624353509\\
z_5 = \dfrac{1}{e^{0.60624353509} } =0.54539578598\\
z_6 = \dfrac{1}{e^{0.54539578598} } =0.57961233550\\
z_7 = \dfrac{1}{e^{0.57961233550} } =0.56011546136\\
z_8 = \dfrac{1}{e^{0.56011546136} } =0.57114311508\\
z_9 = \dfrac{1}{e^{0.57114311508} } =0.56487934739\\
$
}}$$

$$\\ \small{
$
z_{10} = \dfrac{1}{e^{0.56487934739} } =0.56842872503\\
z_{11} = \dfrac{1}{e^{0.56842872503} } =0.56641473315\\
z_{12} = \dfrac{1}{e^{0.56641473315} } =0.56755663733\\
z_{13} = \dfrac{1}{e^{0.56755663733} } =0.56690891192\\
z_{14} = \dfrac{1}{e^{0.56690891192} } =0.56727623218\\
z_{15} = \dfrac{1}{e^{0.56727623218} } =0.56706789839\\
z_{16} = \dfrac{1}{e^{0.56706789839} } =0.56718605010\\
z_{17} = \dfrac{1}{e^{0.56718605010} } =0.56711904006\\
z_{18} = \dfrac{1}{e^{0.56711904006} } =0.56715704400\\
z_{19} = \dfrac{1}{e^{0.56715704400} } =0.56713549021\\
z_{20} = \dfrac{1}{e^{0.56713549021} } =0.56714771426\\
\dots
$
}}$$

$$\\z = 0.56714329041 \\
x = z - 3= 0.56714329041 - 3\\
\textcolor[rgb]{1,0,0}{x = -2.43285670959}$$

Ich habe bei x neu 1 ein Komma vergessen.