nullstellen von x+3+ln(x+3)

Ich habe Newton bemüht.

Hallo Anonymous,

leider kann ich dir momentan nur mit dem Graphen der Funktion  f(x) = x+3+ln(x+3)

und der Nullstelle  ( -2,43286 / 0 ) dienen.

Gruß radix !

Hallo anonymous,

x +3 + ln(x + 3) = 0        [Ersetzen: x + 3 = z

z + ln z = 0

z = - ln z

      z = 0,56  0,57  0,566  0,5675 0,5670  0,5672 0,5671 0,56715  0,56714   0,567143

- ln z = 0,58 0,562 0,569  0,5665 0,5674  0,5670 0,5672  0,56713 0,567149  0,567144

(Startwert geschätzt.  z mit Taschenrechner ermittelt durch probieren und anpassen. Einfach, schnell und beliebig genau.)

z = 0,567143

Probe:

0,567143 ≈ -ln(0,567143)

0,567143 ≈ 0,567144

x = z - 3 =0,567143 - 3

x = -2,432857..

Probe:

-2,432857 + 3 + ln (3 - 2,432857) ≈ 0     (= 0,000 000 802)

Gruß asinus :- )

Ich schaetze, du solltest die Aufgabe mit dem Newton- oder Intervallhalbierungsverfahren lösen.

Probe:

$${\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{2.432\: \!856\: \!7}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{3}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{ln}{\left({\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{2.432\: \!856\: \!7}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{3}}\right)} = {\mathtt{0.000\: \!000\: \!026\: \!499\: \!904}}$$

Nullstellen von x+3+ln(x+3)

siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktiteration

Wir setzen z= x+3

Die Gleichung muss  zuerst in eine Fixpunktgleichung, also in eine Gleichung der Form

$$z= \varphi(z)$$

umgeformt werden.

$$\\ z + \ln(z) = 0 \\ z= -\ln(z) \quad | \quad e^{()} \\ e^z = e^{ -\ln(z)} \\\\ e^z = \dfrac{1} { e^{ \ln(z)} }\\\\ e^z = \dfrac{1} { z } \\\\ z = \dfrac{1} { e^z } \\$$

und erhalten die Gleichung:

$$\boxed{z = \dfrac{1} { e^z } \small{\text{ mit } x = z-3}} \\ \small{\text{ Die Iterationsformel lautet nun: $ z_{i+1} = \dfrac{1} { e^{z_i} } $ }}$$

Wir starten die Iteration mit

$$\small{ $ z_0 = 1 \quad ( x = z_0-3 = 1-3 = -2)\\\\ z_1 = \dfrac{1}{e^1} = 0.36787944117 \\ z_2 = \dfrac{1}{e^{0.36787944117 } } =0.69220062756\\ z_3 = \dfrac{1}{e^{0.69220062756} } =0.50047350056\\ z_4 = \dfrac{1}{e^{0.50047350056} } =0.60624353509\\ z_5 = \dfrac{1}{e^{0.60624353509} } =0.54539578598\\ z_6 = \dfrac{1}{e^{0.54539578598} } =0.57961233550\\ z_7 = \dfrac{1}{e^{0.57961233550} } =0.56011546136\\ z_8 = \dfrac{1}{e^{0.56011546136} } =0.57114311508\\ z_9 = \dfrac{1}{e^{0.57114311508} } =0.56487934739\\ $ }}$$

$$\\ \small{ $ z_{10} = \dfrac{1}{e^{0.56487934739} } =0.56842872503\\ z_{11} = \dfrac{1}{e^{0.56842872503} } =0.56641473315\\ z_{12} = \dfrac{1}{e^{0.56641473315} } =0.56755663733\\ z_{13} = \dfrac{1}{e^{0.56755663733} } =0.56690891192\\ z_{14} = \dfrac{1}{e^{0.56690891192} } =0.56727623218\\ z_{15} = \dfrac{1}{e^{0.56727623218} } =0.56706789839\\ z_{16} = \dfrac{1}{e^{0.56706789839} } =0.56718605010\\ z_{17} = \dfrac{1}{e^{0.56718605010} } =0.56711904006\\ z_{18} = \dfrac{1}{e^{0.56711904006} } =0.56715704400\\ z_{19} = \dfrac{1}{e^{0.56715704400} } =0.56713549021\\ z_{20} = \dfrac{1}{e^{0.56713549021} } =0.56714771426\\ \dots $ }}$$

$$\\z = 0.56714329041 \\ x = z - 3= 0.56714329041 - 3\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{x = -2.43285670959}$$

Ich habe bei x neu 1 ein Komma vergessen.