Nullstellen berechnen (plynomdivision)

Die Polynomdivision liefert die Faktorisierung der Ausgangsgleichung:   $$-x^3+2x^2-x+2=0$$

$$-x^3+2x^2-x+2=\textcolor[rgb]{1,0,0}{(-x^2-1)(x-2)}=0$$

Hieraus ergeben sich die Lösungen der qubischen Gleichung, wenn man die Faktoren einzelnt null setzt:

$$(\underbrace{ -x^2-1}_{=0}) (\underbrace{ x-2 }_{=0}) =0$$

1.)  $$x-2=0 \quad \Rightarrow \textcolor[rgb]{0,0,1}{x = 2}$$

2.) $$-x^2-1=0 \quad \Rightarrow x^2+1=0$$

$$\\x^2=-1\\x_{1,2}=\pm\sqrt{-1}\\ \textcolor[rgb]{0,0,1}{x = x_1=i} \quad \text(imagin\ddot are L\ddot osung) \\ \textcolor[rgb]{0,0,1}{x=x_2=-i} \quad \text(imagin\ddot are L\ddot osung)$$

Es gibt nur eine reelle Lösung x = 2

heißt das ich kann bei dieser Aufgabe nicht die Nullstellen mit Hilfe der p-q Formel berechnen?

Du kannst mit der p,q Formel hier nur die imaginären Nullstellen berechnen. Die einzige relle Lösung haben wir ja schon mit x=2. Die p,q Formel liefert hier eine negative Zahl unter dem Wurzelzeichen. Das bedeutet, das die gegebene Funktion die x-Achse nicht weiter schneidet.

Die Funktion $$-x^3+2x^2-x+2=0$$  schneidet die x-Achse (Nullstelle) nur einmal.