Hallo die werten Damen und Herren,
da hier auch naturwissenschaftliche Fragen aus anderen Bereichen ausser der Mathematik bearbeitet werden, hoffte ich hier vielleciht Hilfe zu finden. Ich habe folgende Aufgabe, zu der ich eie Lösung suche.
Eine neu entwickelte Eisrezeptur soll getestet werden. Dafür werden vier Komponenten vermischt. Dabei handelt es sich um:
- 3kg Zucker mit einer Temp. von 20°C und einer Wärmekapaz. von cz = 1,25 kJ/(kg*K)
- 14kg Fruchtpüree mit einer Temp. von 20°C und einem Wassergehalt von 60 Massen-%. Die Wärmekap. der Fruchttrockenmasse beträgt cfp,tr = 1,3 kJ/(kg*K)
- 4kg Wasser mit einer Temp. von 12°C
- Eis mit einer Temp. von -18°C, um das Gemisch vorzukühlen
Der Behälter ist nicht isoliert, daher werden während des Mischens eine Wärmeleistung von 1kW an das Gemisch im Behälter übertragen. Der gesamte Mischvorgangdauert 12min und wird langsam und per Hand ausgeführt.
Wie viel Eis muss zugegeben werden, damit nach der Mischung eine Gemischtemp. von 1°C vorliegt?
**Würde mich , wenn mgl., zudem sehr über eine Erklärung freuen.
Sehr geehrter Unbekannt,
bei ihrem Problem handelt es sich um eine thermodynamische Mischaufgabe. Um diese zu berechnen, muss eine Energiebilanz erstellt werden. Die benötigten Formeln finden Sie in der Fachliteratur und thermodynamischen Formelsammlungen. Wichtig ist hier, die Zustandsänderungen des Eises durch die Schmelzenthalpie zu berücksichtigen. Da die Umformungen mathematisch einfach, aber viel tippaufwand sind, verzichte ich an dieser Stelle darauf, meine handschriftlichen Berechnungen abzutippen.
Jedenfalls ist die Antwort auf ihre Frage eine Masse von 4,7579kg.
+14621 Hallo Gast!
Ich vermute, dass dich die Berechnung
mehr als das Endergebnis interessiert.
Neu entwickelte Eisrezeptur.
Wieviel Eis muss zugegeben werden, damit nach der Mischung
eine Gemischtemperatur von 1°C vorliegt?
Die Mischung besteht aus
3kg Zucker, 20°C, c = 1,25\(\frac{kJ}{kg\cdot K}\)
14kg Fruchtpüree
40% * 14kg = 5,6kg Fruchttrockenmasse, 20°C, c = 1,3\(\frac{kJ}{kg\cdot K}\)
60% * 14kg = 8,4kg Wasseranteil Ftm, 20°C, c = 4,182\(\frac{kJ}{kg\cdot K}\)
4kg Wasser, 12°C, c = 4,182\(\frac{kJ}{kg\cdot K}\)
x kg Wassereis, -18°C, q = 334\(\frac{kJ}{kg\cdot K}\)
\(\large \color{blue}W=m\cdot c\cdot \Delta T\)
Wieviel Wärme muss den einzelnen Komponenten entzogen werden,
um die Mischtemperatur 1°C zu erreichen?
\(W_Z=3kg\cdot 1,25\frac{kJ}{kg\cdot K}\cdot 19K = 71,25kJ\)
\(W_{Ftm}=5,6kg\cdot 1,3\frac{kJ}{kg\cdot K}\cdot 19K=138,32kJ\)
\(W_{H_2O-Anteil}=8,4kg\cdot 4,182\frac{kJ}{kg\cdot K}\cdot 19K=667,4472kJ\)
\(W_{H_2O}=4kg\cdot 4,182\frac{kJ}{kg\cdot K}\cdot 11K=184,008kJ\)
\(W_{von\ ex}=12min\times\frac{60s}{min}\times 1kW\times\frac{kJ}{kWs}=720kJ\)
Das entspricht einem elektrischen Heizofen mit 1000W.
Diese Wärme würde 4 kg Wasser von 12° auf 55° erwärmen.
Ich halte 1kW für einen Schreibfehler und rechne mal mit 1Watt.
\(W_{von\ ex}=12min\times\frac{60s}{min}\times 0,001kW\times\frac{kJ}{kWs}=0,72kJ\)
Trotzdem weiter wie vorgegeben:
\(W_{gesamt}=(71,25+138,32+667,4472+184,008+720)kJ\\ W_{gesamt}=1781,0252kJ\)
1781,0252kJ erwärmen x kg Eis von -18°C auf +1°C
Wärmekapazität \(c_{H_2O}=4,182\frac{kJ}{kg\cdot K} \)
Schmelzwärme \(q_{Eis}=334\frac{kJ}{kg}\)
\(1781,0252kJ=x\cdot c\cdot \Delta T+x\cdot q\\ 1781,0252kJ=x(c\cdot \Delta T+q)\\ 1781,0252kJ=x(4,182\frac{kJ}{kg\cdot K}\cdot 19K+3,34\frac{kJ}{kg})\\ 1781,0252kJ=x\cdot 82,798\frac{kJ}{kg}\\ \large x=\frac{1781,0252kJ\cdot kg}{82,798kJ}\)
\(\large x=21,510\ kg\)
\(Es\ muss\ 21,510\ kg\ Eis\ zugemischt\ werden,\\ damit\ die\ Mischtemperatur\ 1°C\ erreicht\ wird. \)
Ohne die hohe Heizleistung von außen, 1kW mal 12min,
würden nur nur 12,815 kg Eis gebraucht.
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