Guten Morgen! Ich habe eine Verständnisfrage zur multiplen linearen Regression (Statistik): Die Formel die ich verwenden soll lautet A (hoch)-1 × A = E = 1 0 0
0 1 0
0 0 1
Wobei A folgende Zahlen hat:
8 27 20
27 123 69
20 69 72
Mein Problem ist wie ich auf die Zahlen von A (hoch ) -1 komme?? Die lauten nämlich:
0,7323 -0,1009 -0,1068
-0,1009 0,0315 -0,0022
-0,1068 -0,022 0,4560
Kann mir jemand die RechenSchritte zu den genannten Zahlen erklären? Denn wenn ich einfach 8hoch -1 rechne kommt dann 0,125 und nicht wie gewünscht 0,7323 raus!? Vielen Dank im Voraus
+26397 \( A^{-1} \text{ ist kein Exponent hoch -1 sondern bedeutet "Inverse Matrix von A", so wie } sin^{-1}(x)\\ arcsin(x) \text{ also die Umkehrfunktion von } sin(x) \text{ bedeutet.} \\ \text{ Es gibt zum Beispiel folgende Methoden, um die inverse Matrix zu bestimmen: } \\ \text{ 1. Gauß-Jordan-Algorithmus } \\ \text{ 2. Cramer - Regel } \\ \text{ 3. Kofaktormatrix aufstellen} \)
Dies ist alles recht aufwendig.
Berechnung nach Cramer:
\(\underbrace{ \begin{pmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{pmatrix}}_{\text{Matrix A}} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} x_{11} &x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}}_{\text{inverse Matrix}} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\text{Einheitsmatrix}}\)
Wir haben jeweils drei Gleichungssysteme mit jeweils drei Unbekannten.
1. Gleichungssystem:
\(\begin{pmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} \\ x_{21} \\ x_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\\ \begin{array}{rcl} 8\cdot x_{11} + 27 \cdot x_{21} + 20 \cdot x_{31} & = &1\\ 27\cdot x_{11} + 123 \cdot x_{21} + 69 \cdot x_{31} &=& 0\\ 20\cdot x_{11} + 69 \cdot x_{21} + 72 \cdot x_{31} &=& 0\\ \end{array}\\ x_{11} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 27 & 20 \\ 0 & 123 & 69\\ 0 & 69 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=\frac{4095}{5592} = 0.73229613734\\\\ x_{21} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 1 & 20 \\ 27 & 0 & 69\\ 20 & 0 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{564}{5592} = -0.10085836910\\\\ x_{31} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 27 & 1 \\ 27 & 123 & 0\\ 20 & 69 & 0 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{597}{5592} = -0.10675965665\)
2. Gleichungssystem:
\(\begin{pmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{12} \\ x_{22} \\ x_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\ \begin{array}{rcl} 8\cdot x_{12} + 27 \cdot x_{22} + 20 \cdot x_{32} & = &0\\ 27\cdot x_{12} + 123 \cdot x_{22} + 69 \cdot x_{32} &=& 1\\ 20\cdot x_{12} + 69 \cdot x_{22} + 72 \cdot x_{32} &=& 0\\ \end{array}\\ x_{12} = \frac{\begin{vmatrix} 0 & 27 & 20 \\ 1 & 123 & 69\\ 0 & 69 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{564}{5592} = -0.10085836910\\\\ x_{22} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 0 & 20 \\ 27 & 1 & 69\\ 20 & 0 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=\frac{176}{5592} = 0.03147353362\\\\ x_{32} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 27 & 0 \\ 27 & 123 & 1\\ 20 & 69 & 0 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{12}{5592} = -0.00214592275\)
3. Gleichungssystem:
\(\begin{pmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{13} \\ x_{23} \\ x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \begin{array}{rcl} 8\cdot x_{13} + 27 \cdot x_{23} + 20 \cdot x_{33} & = &0\\ 27\cdot x_{13} + 123 \cdot x_{23} + 69 \cdot x_{33} &=& 0\\ 20\cdot x_{13} + 69 \cdot x_{23} + 72 \cdot x_{33} &=& 1\\ \end{array}\\ x_{13} = \frac{\begin{vmatrix} 0 & 27 & 20 \\ 0 & 123 & 69\\ 1 & 69 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{597}{5592} = -0.10675965665\\\\ x_{23} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 0 & 20 \\ 27 & 0 & 69\\ 20 & 1 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{12}{5592} = -0.00214592275\\\\ x_{33} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 27 & 0 \\ 27 & 123 & 0\\ 20 & 69 & 1 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=\frac{255}{5592} = 0.04560085837\)
\(A^{-1}=\begin{pmatrix} 0.73229613734 & -0.10085836910 & -0.10675965665 \\ -0.10085836910& 0.03147353362 & -0.00214592275\\ -0.10675965665 & -0.00214592275 & 0.04560085837 \end{pmatrix}\)
Da die Matrix A eine symmetrische Matrix ist, so muss auch die inverse Matrix eine symmetrische Matrix sein.
