multiplen linearen Regression (Statistik)

$A^{-1} \text{ ist kein Exponent hoch -1 sondern bedeutet "Inverse Matrix von A", so wie } sin^{-1}(x)\\ arcsin(x) \text{ also die Umkehrfunktion von } sin(x) \text{ bedeutet.} \\ \text{ Es gibt zum Beispiel folgende Methoden, um die inverse Matrix zu bestimmen: } \\ \text{ 1. Gauß-Jordan-Algorithmus } \\ \text{ 2. Cramer - Regel } \\ \text{ 3. Kofaktormatrix aufstellen}$

Dies ist alles recht aufwendig.

Berechnung nach Cramer:

$\underbrace{ \begin{pmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{pmatrix}}_{\text{Matrix A}} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} x_{11} &x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}}_{\text{inverse Matrix}} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\text{Einheitsmatrix}}$

Wir haben jeweils drei Gleichungssysteme mit jeweils drei Unbekannten.

1. Gleichungssystem:

$\begin{pmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} \\ x_{21} \\ x_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\\ \begin{array}{rcl} 8\cdot x_{11} + 27 \cdot x_{21} + 20 \cdot x_{31} & = &1\\ 27\cdot x_{11} + 123 \cdot x_{21} + 69 \cdot x_{31} &=& 0\\ 20\cdot x_{11} + 69 \cdot x_{21} + 72 \cdot x_{31} &=& 0\\ \end{array}\\ x_{11} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 27 & 20 \\ 0 & 123 & 69\\ 0 & 69 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=\frac{4095}{5592} = 0.73229613734\\\\ x_{21} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 1 & 20 \\ 27 & 0 & 69\\ 20 & 0 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{564}{5592} = -0.10085836910\\\\ x_{31} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 27 & 1 \\ 27 & 123 & 0\\ 20 & 69 & 0 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{597}{5592} = -0.10675965665$

2. Gleichungssystem:

$\begin{pmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{12} \\ x_{22} \\ x_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\ \begin{array}{rcl} 8\cdot x_{12} + 27 \cdot x_{22} + 20 \cdot x_{32} & = &0\\ 27\cdot x_{12} + 123 \cdot x_{22} + 69 \cdot x_{32} &=& 1\\ 20\cdot x_{12} + 69 \cdot x_{22} + 72 \cdot x_{32} &=& 0\\ \end{array}\\ x_{12} = \frac{\begin{vmatrix} 0 & 27 & 20 \\ 1 & 123 & 69\\ 0 & 69 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{564}{5592} = -0.10085836910\\\\ x_{22} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 0 & 20 \\ 27 & 1 & 69\\ 20 & 0 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=\frac{176}{5592} = 0.03147353362\\\\ x_{32} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 27 & 0 \\ 27 & 123 & 1\\ 20 & 69 & 0 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{12}{5592} = -0.00214592275$

3. Gleichungssystem:

$\begin{pmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{13} \\ x_{23} \\ x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \begin{array}{rcl} 8\cdot x_{13} + 27 \cdot x_{23} + 20 \cdot x_{33} & = &0\\ 27\cdot x_{13} + 123 \cdot x_{23} + 69 \cdot x_{33} &=& 0\\ 20\cdot x_{13} + 69 \cdot x_{23} + 72 \cdot x_{33} &=& 1\\ \end{array}\\ x_{13} = \frac{\begin{vmatrix} 0 & 27 & 20 \\ 0 & 123 & 69\\ 1 & 69 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{597}{5592} = -0.10675965665\\\\ x_{23} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 0 & 20 \\ 27 & 0 & 69\\ 20 & 1 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{12}{5592} = -0.00214592275\\\\ x_{33} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 27 & 0 \\ 27 & 123 & 0\\ 20 & 69 & 1 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=\frac{255}{5592} = 0.04560085837$

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 0.73229613734 & -0.10085836910 & -0.10675965665 \\ -0.10085836910& 0.03147353362 & -0.00214592275\\ -0.10675965665 & -0.00214592275 & 0.04560085837 \end{pmatrix}$

Da die Matrix A eine symmetrische Matrix ist, so muss auch die inverse Matrix eine symmetrische Matrix sein.

@ heureka:

Vielen Dank  für die super  Antwort 

Beste Grüße