Hallo, ich brauche hilfe bei einer Aufgabe.
1. Bei einer Vireninfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Miliarden) nach folgender Funktionsgleichung:
f1(x)= 1/2x^2
Nach drei Tagen wird ein Medikament verabreicht, das der Ausbreitung der Viren nach folgender Funktion entgegenwirkt:
f2(x)= -1/2x^2+6x-9
a) Untersuchen Sie den Übergang der Funktiongraphen auf Knick- und Ruckfreiheit.
Deuten Sie das Ergebnis im Sachkontext.
Dankeschön!
+3976 Erstmal stellen wir Stetigkeit, also die "Ruckfreiheit", fest. Dafür müssen wir prüfen, ob die Funktionen an der Stelle, an der die zweite Funktion "übernimmt", den gleichen Wert haben. (Wir prüfen damit, ob sie sich im selben Punkt treffen.) Der Übergang ist laut Text bei x=3 (davon ausgehend, dass x die Zeit in Tagen angibt. Das sollte eigentlich noch irgendwo stehen.)
Es ist
f1(3)=1/2 * 3² =4,5
f2(3)=-1/2 * 3² +6*3 -9 = -4,5 +18 -9 = 4,5
Die Werte sind gleich, also ist die Funktion dort stetig bzw. "ruckfrei".
Soll sie nun auch Knickfrei sein (der Fachbegriff ist "differenzierbar"), so bedeutet das, dass die Funktionen an der Übergangsstelle auch die gleiche Steigung haben müssen. Die Steigung bekommen wir durch die Ableitungen:
f1'(x) = x ; f2'(x) = -x+6.
An der Übergangsstelle ist dann
f1'(3) = 3
f2'(3) = -3+6=3
Auch hier sind die Werte gleich, daher ist die Funktion dort knickfrei bzw. differenzierbar.
Nun müssen wir das noch im Sachkontext deuten. Gäbe es an dieser Stelle einen Sprung/Ruck, so würde das bedeuten, dass sich die Anzahl der Viren im Moment der Medikamenten-Einnahme sofort verändert (hoffentlich nach unten). Das ist aber nicht der Fall, daher können wir sagen: Das Medikament tötet nicht sofort im Moment der Einnahme die Viren, sondern schlägt erst danach zu. Es ist sogar noch "schlimmer": Die Funktion ist auch knickfrei. Dafür haben wir ja die Steigungen verglichen und festgestellt: die sind gleich! Das heisst: Das Medikament verändert auch nicht sofort die Wachstumsrate der Virenanzahl, sondern braucht auch da eine gewisse Zeit, bis es anschlägt.
Zusammenfassend: Das Medikament hat im Moment der Einnahme erstmal keine direkte Wirkung, sondern braucht Zeit, um das Wachstum der Viren zunächst zu verlangsamen und schließlich die Virenanzahl zu senken.
