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(a)

Bestimmen Sie für die folgenden linearen Abbildungen die zugehörige Matrix, d. h., bestimmen Sie Matrizen A1 und A2, so dass T1 = TA1 und T2 = TA2 gelten.

(i) T1 : R2 → R2 , (ξ1, ξ2) 7→ (2ξ2 − ξ1, −3ξ1 − ξ2),

(ii) T2 : R3 → R3 , (ξ1, ξ2, ξ3) 7→ (−ξ3 + 4ξ2 + 9ξ1, ξ1 + 2ξ3 − 4ξ2, 5ξ1 − 6ξ2 + 8ξ3

 

(b)

Bestimmen Sie für folgende Matrizen jeweils die inverse Matrix ¨

(i) (2 Punkte) A =\(\begin{bmatrix} 4 && -2 \\ 2 && -2 \end{bmatrix}\)

 

(ii) (4 Punkte) B = \(\begin{bmatrix} 1 && -2 && 0\\ 2 && 1 && 1\\ 1 && 2 && 1 \end{bmatrix}\)

 

 

Ich bin dankbar für alle die mir helfen wollen

 15.12.2021
 #1
avatar+3777 
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(a) ist tatsächlich relativ einfach, wenn die Abbildungen so angegeben sind, wie sie angegeben sind:
Die Matrix zu (i) ist 

\(\begin{bmatrix} -1 && 2 \\ -3 && -1 \end{bmatrix}\)

Sie besteht aus den Koeffizienten vor den entsprechenden Zeta's, in der ersten Spalte die von ξ1 usw. . Das schaffst du für (ii) bestimmt selbst ;)

 

b)

Dafür ist das Gauß-System ratsam: Beginne mit

\(\begin{bmatrix} 4 && -2 && | && 1 && 0 \\ 2 && -2 && | && 0 && 1 \end{bmatrix}\)

(Die " | " in der Mitte sind Trennstriche, keine Matrix-Einträge.) 

Nun wird so lange gegaußt bist links nur noch die Einheitsmatrix steht. Rechts ist dann die gesuchte Inverse Matrix.

Für (ii) geht's fast genauso - man muss halt mit einer 3x3-Einheitsmatrix rechts starten & links enden, damit die Größen zusammenpassen.

 

Zur Selbstkontrolle ist http://www.wolframalpha.com zu empfehlen, das rechnet die quasi alles. Gib dort deine Matrix ein & drück' Enter, dann bekommst du diverse Resultate zu deiner Matrix, unter anderem auch die Inverse. (Matrizen gibt man dort mit geschweiften Klammern ein, deine aus (i) zB. so: {{4; -2};{2; -2}})

 15.12.2021
 #2
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Waäre die Antwort zu(a) (ii) dann \(\begin{bmatrix} 9 && 4 && -1\\ 1 && -4 && 2\\ 5 && -6 && 8 \end{bmatrix}\)?

Gast 15.12.2021
 #3
avatar+3777 
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Jo genau!

Probolobo  15.12.2021
 #4
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Wie ist da die Rechnung ? 

Gast 16.12.2021
 #5
avatar+3777 
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Bei den Matrizen in a) ?

Da wurde nichts gerechnet, sondern die Parameter vor den Variablen in eine Matrix eingetragen.

Man könnt's natürlich rechnerisch machen, dazu sei das Stichwort "Darstellende Matrix bzgl. der Standardbasis" in den Raum geworfen.

Probolobo  16.12.2021
 #6
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Ja ich meine wie man bei a) i und ii auf die Zahlen kommt, die dann in der Matrix stehen ? :) 

Gast 16.12.2021
 #7
avatar+3777 
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Es sind, wie schon oben erwähnt, genau die Koeffizienten aus den Abbildungsvorschriften.

Probolobo  16.12.2021

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