Hallo miteinander und einen schönen Abend,
Ich habe ein Problem und zwar hat unser Lehrer mit uns während dem Lockdown sehr viel über Das lineare Gleichungssysteme gesprochen. Jedoch habe ich es nicht so gut verstanden und wollte nun fragen ob jemand mir das Prinzip davon etwas genauer erklären könnte.
Um genau zu sein habe ich diese Themen nicht wirklich ganz verstanden Additions-, Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren ich verstehe wie man sie benutzt jedoch komme ich immer wieder durcheinander.
Danke im Voraus
+3976 Klar - erstmal ist eine lineare Gleichung eine Gleichung, bei der keine Variable in irgendeiner höheren Potenz vorkommt. Beispielsweise ist x-y=5 eine lineare Gleichung, y²-x=1 ist hingegen keine. Bei mehreren Gleichungen spricht man von einem Gleichungssystem, sind alle Gleichungen linear sogar von einem linearen Gleichungssystem.
Euer Ziel ist nun, die Lösungen solcher Gleichungssysteme zu finden. Dafür betrachtet ihr zunächst Systeme aus zwei Gleichungen, später wahrscheinlich noch aus drei Gleichungen. Es gibt verschiedene Methoden, die Lösungen zu finden (wie du schon angesprochen hast beispieisweise Additions-, Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren).
Wir betrachten ein Beispiel und lösen es direkt mit dem Einsetzungsverfahren:
I: 2x-4y=-2
II: 3x+2y=13
Das System besteht aus zwei linearen Gleichungen mit den Variablen x & y. Bei einer Gleichung war das Ziel, nach der Variablen aufzulösen. Das können wir auch hier erstmal tun - welche Variable und welche Gleichung ist dabei ganz egal. Ich nehme Gleichung I und löse nach x auf:
2x-4y=-2 |+4y
2x = -2+4y |:2
x = -1+2y
Da ist jetzt ja noch y dabei, wir haben also noch keinen Wert für x gefunden. Wir haben aber ja noch die andere Gleichung - da kommt jetzt unser eben gefundener Ausdruck für x rein (wir setzen den x-Ausdruck ein, daher "Einsetzungsverfahren"):
3x+2y=13
3*(-1+2y) +2y = 13
-3+6y +2y = 13 | +3
8y = 16 | :8
y = 2
Jetz haben wir schon den Wert für y - super! Den Wert für x könnten wir nun aus einer der ersten beiden Gleichungen erhalten, indem wir den y-Wert einsetzen. Man kann es sich aber auch leicht machen und den y-Wert in die "rote Zeile" einsetzen. Da haben wir nämlich schon nach x aufgelöst - so müssen wir uns diese Arbeit nicht nochmal machen.
x = -1+2y = -1 +2*2 = 3
x = 3
Jetzt haben wir die Lösung gefunden - x=3 und y=2.
Der Vorteil an dieser Methode ist, dass sie immer funktioniert, egal wie das Gleichungssystem aussieht. Daher würde ich das Einsetzungsverfahren auch empfehlen. Die anderen Methoden sind nur sinnvoll, wenn die Gleichungen besonders "zusammenpassen".
Ein Beispiel für's Additionsverfahren:
I: 2x-2 = y+1
II: 3x+1 = 8-y
Es fällt auf: Auf den rechten Seiten kommt y einmal mit "+" und einmal mit "-" vor. Addiert man beide Gleichungen, so passiert folgendes:
I+II: 2x-2 +3x+1 = y+1 + 8-y |Zusammenfassen - das y fällt 'raus!
5x-1 = 9 | +1
5x = 10 |:5
x = 2
So erhalten wir schonmal x. Den Wert von y finden wir, indem wir x in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Ich nehme mal die zweite (willkürlich gewählt):
3x+1 = 8-y
3*2+1 = 8-y
7 = 8-y |-8
-1 = -y |*(-1)
1 = y
Also ist unsere Lösung gegeben durch x=2 und y=1.
Das Verfahren klappt nur, wenn eine Variable einmal mit + und einmal mit - vorkommt. Das ist halt leider nicht so oft der Fall, und wirklich viel schneller geht's dann auch nicht, daher meine Empfehlung nochmal: Einsetzungsverfahren!
Jetzt noch das Gleichsetzungsverfahren an einem Beispiel:
I: 4+x = 2y-1
II: 2-x = 2y-1
Die rechten Seiten sind gleich - daher müssen die linken Seiten auch gleich sein! Wir können sie daher gleichsetzen (daher auch der Name "Gleichsetzungsverfahren":
4+x = 2-x | +x
4+2x = 2 | -4
2x = -2 |:2
x = -1
Wir finden y, indem wir x wieder in eine der ersten beiden Gleichungen einsetzen. Egal in welche, ich nehm' die erste:
4+x = 2y-1
4+(-1) = 2y-1 |+1
4 = 2y |:2
2 = y
Wir finden also x=-1 und y=2 als Lösung. Für dieses Verfahren müssen sich zwei Gleichheits-Seiten schon komplett gleichen. Zudem muss durch das Gleichsetzen der anderen Seiten auch eine Gleichung entstehen, in der eine Variable nicht vorkommt, sonst hat man wieder nichts gewonnen. Daher auch hier: Kann schon praktisch sein, meistens ist das Einsetzungsverfahren aber am effizientesten. Gerade, wenn man in Mathe vielleicht eh nicht so der Held ist, find ich's empfehlenswert, nur das Einsetzungsverfahren zu üben und das dafür richtig, denn es ist für jede Art von linearem Gleichungssystem geeignet und daher völlig ausreichend. Die anderen beiden sind nur "Bonusmaterial".
Ich hoff' das hilft weiter - frag' gern nochmal wenn nicht!
+3976 Klar - erstmal ist eine lineare Gleichung eine Gleichung, bei der keine Variable in irgendeiner höheren Potenz vorkommt. Beispielsweise ist x-y=5 eine lineare Gleichung, y²-x=1 ist hingegen keine. Bei mehreren Gleichungen spricht man von einem Gleichungssystem, sind alle Gleichungen linear sogar von einem linearen Gleichungssystem.
Euer Ziel ist nun, die Lösungen solcher Gleichungssysteme zu finden. Dafür betrachtet ihr zunächst Systeme aus zwei Gleichungen, später wahrscheinlich noch aus drei Gleichungen. Es gibt verschiedene Methoden, die Lösungen zu finden (wie du schon angesprochen hast beispieisweise Additions-, Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren).
Wir betrachten ein Beispiel und lösen es direkt mit dem Einsetzungsverfahren:
I: 2x-4y=-2
II: 3x+2y=13
Das System besteht aus zwei linearen Gleichungen mit den Variablen x & y. Bei einer Gleichung war das Ziel, nach der Variablen aufzulösen. Das können wir auch hier erstmal tun - welche Variable und welche Gleichung ist dabei ganz egal. Ich nehme Gleichung I und löse nach x auf:
2x-4y=-2 |+4y
2x = -2+4y |:2
x = -1+2y
Da ist jetzt ja noch y dabei, wir haben also noch keinen Wert für x gefunden. Wir haben aber ja noch die andere Gleichung - da kommt jetzt unser eben gefundener Ausdruck für x rein (wir setzen den x-Ausdruck ein, daher "Einsetzungsverfahren"):
3x+2y=13
3*(-1+2y) +2y = 13
-3+6y +2y = 13 | +3
8y = 16 | :8
y = 2
Jetz haben wir schon den Wert für y - super! Den Wert für x könnten wir nun aus einer der ersten beiden Gleichungen erhalten, indem wir den y-Wert einsetzen. Man kann es sich aber auch leicht machen und den y-Wert in die "rote Zeile" einsetzen. Da haben wir nämlich schon nach x aufgelöst - so müssen wir uns diese Arbeit nicht nochmal machen.
x = -1+2y = -1 +2*2 = 3
x = 3
Jetzt haben wir die Lösung gefunden - x=3 und y=2.
Der Vorteil an dieser Methode ist, dass sie immer funktioniert, egal wie das Gleichungssystem aussieht. Daher würde ich das Einsetzungsverfahren auch empfehlen. Die anderen Methoden sind nur sinnvoll, wenn die Gleichungen besonders "zusammenpassen".
Ein Beispiel für's Additionsverfahren:
I: 2x-2 = y+1
II: 3x+1 = 8-y
Es fällt auf: Auf den rechten Seiten kommt y einmal mit "+" und einmal mit "-" vor. Addiert man beide Gleichungen, so passiert folgendes:
I+II: 2x-2 +3x+1 = y+1 + 8-y |Zusammenfassen - das y fällt 'raus!
5x-1 = 9 | +1
5x = 10 |:5
x = 2
So erhalten wir schonmal x. Den Wert von y finden wir, indem wir x in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Ich nehme mal die zweite (willkürlich gewählt):
3x+1 = 8-y
3*2+1 = 8-y
7 = 8-y |-8
-1 = -y |*(-1)
1 = y
Also ist unsere Lösung gegeben durch x=2 und y=1.
Das Verfahren klappt nur, wenn eine Variable einmal mit + und einmal mit - vorkommt. Das ist halt leider nicht so oft der Fall, und wirklich viel schneller geht's dann auch nicht, daher meine Empfehlung nochmal: Einsetzungsverfahren!
Jetzt noch das Gleichsetzungsverfahren an einem Beispiel:
I: 4+x = 2y-1
II: 2-x = 2y-1
Die rechten Seiten sind gleich - daher müssen die linken Seiten auch gleich sein! Wir können sie daher gleichsetzen (daher auch der Name "Gleichsetzungsverfahren":
4+x = 2-x | +x
4+2x = 2 | -4
2x = -2 |:2
x = -1
Wir finden y, indem wir x wieder in eine der ersten beiden Gleichungen einsetzen. Egal in welche, ich nehm' die erste:
4+x = 2y-1
4+(-1) = 2y-1 |+1
4 = 2y |:2
2 = y
Wir finden also x=-1 und y=2 als Lösung. Für dieses Verfahren müssen sich zwei Gleichheits-Seiten schon komplett gleichen. Zudem muss durch das Gleichsetzen der anderen Seiten auch eine Gleichung entstehen, in der eine Variable nicht vorkommt, sonst hat man wieder nichts gewonnen. Daher auch hier: Kann schon praktisch sein, meistens ist das Einsetzungsverfahren aber am effizientesten. Gerade, wenn man in Mathe vielleicht eh nicht so der Held ist, find ich's empfehlenswert, nur das Einsetzungsverfahren zu üben und das dafür richtig, denn es ist für jede Art von linearem Gleichungssystem geeignet und daher völlig ausreichend. Die anderen beiden sind nur "Bonusmaterial".
Ich hoff' das hilft weiter - frag' gern nochmal wenn nicht!
