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Die Aufgabe lautet:

Bestimme die Lösung des Gleichunssystems

a) y= 4x -2

    y= 5x -4

b) y= -1/2x +2

    y= x -4

c)...

d)...

Die nächste Aufgabe lautet:

Veranschauliche das Gleichungssystem durch ein Geradenpaar

Bsp.: 2x- y= 3

         -2x+ y=0

 

Es wär lieb wenn jmd mir das mit den Bsp. erklären könnte

Und wie finde ich heraus,ob ein Gleichungssystem keine,eine oder unendlich viele Lösungen hat

 29.09.2021
 #1
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Ich würd' für Gleichungssysteme in der Schule grundsätzlich das Einsetzungsverfahren nutzen, weil's immer gleich funktioniert. Damit wäre der Lösungsweg folgender:
1. Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen (egal welche Gleichung, egal welche Variable)

2. Das Ergebnis in die andere Gleichung einsetzen -> nur noch eine Variable kommt vor

3. Nach der verbliebenen Variable auflösen

4. Einsetzen in den Term aus Schritt 1 - fertig!

 

Für die a) sieht das so aus:

Schritt 1 ist schon erledigt, zB ist die erste Gleichung nach y aufgelöst. Das setze ich jetzt in die zweite ein:

4x - 2 = 5x - 4  |+4

4x +2 = 5x   |-4x

2 = x

Das kommt jetzt noch in die erste Gleichung, um y zu ermitteln:

y = 4*2-2 = 6

-> Lösungsmenge L={(2|6)}

 

Um ein Gleichungssystem wie 

2x- y= 3

-2x+ y=0

durch Geraden zu veranschaulichen, kannst du beide Gleichungen nach y auflösen. Das sieht hier so aus:

2x- y= 3 |-2x

-y = -2x + 3 |:(-1)

y = 2x -3

 

-2x + y = 0 |+2x

y = 2x

 

Jetzt hast du zwei Geradengleichungen, die du wie (hoffentlich) gewohnt in ein Koordinatensystem einzeichnen kannst. Die Lösungsmenge sind genau die Schnittpunkte.

 

Auf diese Art (sogar ohne die Zeichnung) kannst du auch feststellen, wie viele Lösungen dein Gleichungssystem hat: Wenn nach dem Umformen nach y zweimal die gleiche Gerade herauskommt, dann ist die ganze Gerade die Lösungsmenge und es gibt unendlich viele Lösungen. Entstehen wie im Beispiel zwei parallele Geraden (gleiche Steigung, unterschiedlicher y-Achsen-Abschnitt), dann gibt es gar keine Lösung, denn zwei Parallelen schneiden sich gar nicht. Entstehen zwei nicht parallele Geraden, dann gibt es genau einen Schnittpunkt und damit genau eine Lösung.

 

Man kann's auch mit dem Einsetzungsverfahren sehen: Wenn Schritt 3 "normal" funktioniert, dann gibt's genau eine Lösung, wenn bei Schritt 3 eine Gleichung wie " 0=0 " oder " 2=2 " entsteht (immer wahr, unabhängig von der Variable), dann gibt's unendlich viele Lösungen, und wenn eine Gleichung entsteht, die unabhängig von der Variable immer falsch ist (zB. " 2=0 "), dann gibt's gar keine Lösung.

 

Ich hoff' das war verständlich, frag' gern nochmal nach wenn was unklar ist :)

 29.09.2021

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