+3976 Das Aufspalten des Betrags ist der erste Schritt, also
|x-3| < 7 <=> x-3 < 7 und (!) x-3 > -7
Jetzt haben wir zwei Ungleichungen, die wir beide nach x auflösen können:
x-3 < 7 -> x < 10
x-3 > -7 -> x > -4
Die Elemente der Lösungsmenge müssen beide erfüllen, ist also x in der Lösungsmenge, so ist -4 < x < 10.
Damit ist die Lösungsmenge \(\mathbb{L} = ]-4;10[\).
(Fun Fact: Das hier ist meine 1000. Antwort! :D )
+3976 Ich lass' mal 'nen Tipp da, vielleicht macht's dann jemand:
|x-3| < 7 <=> x-3 < 7 und (!) x-3 > -7
(Du brauchst die Lösung ja nicht wirklich, oder? :D )
+3976 Das Aufspalten des Betrags ist der erste Schritt, also
|x-3| < 7 <=> x-3 < 7 und (!) x-3 > -7
Jetzt haben wir zwei Ungleichungen, die wir beide nach x auflösen können:
x-3 < 7 -> x < 10
x-3 > -7 -> x > -4
Die Elemente der Lösungsmenge müssen beide erfüllen, ist also x in der Lösungsmenge, so ist -4 < x < 10.
Damit ist die Lösungsmenge \(\mathbb{L} = ]-4;10[\).
(Fun Fact: Das hier ist meine 1000. Antwort! :D )
+14913 Hallo Probolobo!
Herzlichen Glückwunsch zur tausendsten Antwort 🌹, mach weiter so!
Danke für die ausführliche Antwort! Ungleichungen mit Absolutbestandteilen waren mir bisher böhmische Dörfer. Ich konnte sie graphisch oder einfach im Kopf lösen aber keine schriftlichen Arbeitsschritte angeben.
Für den Weg dazu vielen Dank!
!
+14913 \(\mathbb L\) = ] -4;10 [ . Wie ist hierbei gekennzeichnet, dass -4 < x < 10 ist,
und nicht \(-4\leqq x\leqq 10\) ?
+3976 Freut mich, dass ich auch dir mal was erklären konnte :D
Man erkennt an der ausrichtung der eckigen Klammern, dass weder -4 noch 10 in ]-4;10[ enthalten ist.
Die Ungleichungskette \(-4 \leq x \leq 10\) würde die Lösungsmenge [-4;10] liefern, mit \(-4 < x \leq 10\) käme man zu ]-4;10].
Gängig ist auch die Schreibweise mit runden Klammern, also (-4;10) statt ]-4;10[ und (-4;10] statt ]-4;10]. Bin aber kein Fan davon, ich find' mit den eckigen ist es intuitiv klarer: Klammer nach außen offen -> Grenz-Zahl ausgeschlossen, Klammer nach innen offen -> Grenze eingeschlossen.
Natürlich kann man's auch schreiben als \(\mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} | -4 oderso, ist halt etwas umständlicher ;)
+14913 | x - 3 | < 7 \( \mathbb L=\ ?\)
Hallo Freunde!
Mit Graph ist das einfach, aber
mit welchen Rechenschritten komme ich zu der Lösung
\(\mathbb {L}\) = \(\mathbb {R}\)| -4 < x < 10
?
+14913 Ich muss noch etwas zur Aufspaltung der Ungleichung fragen:
\({\color{blue}|x-3| < 7}\ <=>\ {\color{blue}x-3 < 7}\ und\ \color{blue}x-3 > -7\color{blue}\)
Ich verstehe den ersten Schritt, aber wie und warum wird im zweiten Schritt aus
\(|x-3|<7\) => \(x-3>-7\) ?
Wissbegierig
!
+3976 Das kann man sich erklären, wenn man sich nochmal klar vor Augen führt, dass der Betrag ja im Prinzip eine abschnittsweise definierte Funktion ist, nämlich ist |x| = f(x) mit
f(x) = -x für x<0
f(x) = x für x>=0
(wo die Null dabei ist, ist egal)
Überträgt man das auf g(x) = |x-3|, erhält man
g(x) = -(x-3) für x-3 < 0
g(x) = x-3 für x-3 > 0
Ungleichungen umstellen liefert
g(x) = -(x-3) für x < -3
g(x) = x-3 für x > -3
(eine der Ungleichungen muss eigentlich eine Gleichheit sein, du weisst was ich mein' ;) )
So wird aus unserer Ungleichung vom Anfang, also |x-3|<7 erstmal g(x) < 7. Und das wird jetzt auch wieder mit den abschnittsweise definierten Funktionsteilen betrachtet:
-(x-3) < 7 für x < -3
x-3 < 7 für x > -3
Die zweite ist eh klar (hoff ich? :D ), die erste liefert nach Multiplikation mit (-1) die Ungleichung (Ungleichheitszeichen dreht sich!):
x-3 > -7
Da kommt die also her! :)
Kurz & knapp: der Betrag ändert ja höchstens was am Vorzeichen, deswegen betrachtet man die Ungleichung einfach einmal mit +( ) statt Betrag und einmal mit -( ) statt Betrag. Und mit dem Minus davor erhalten wir die, um die's dir ging ;)
?
